{"id":137604,"date":"2019-10-15T23:18:59","date_gmt":"2019-10-16T02:18:59","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=137604"},"modified":"2024-06-22T00:50:13","modified_gmt":"2024-06-22T03:50:13","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-vertices-coloridos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-vertices-coloridos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: V\u00e9rtices coloridos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220587\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#FF8C00\"> (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>(<strong>ONEM <\/strong> &#8211; 2008) Alguns dos dezesseis v\u00e9rtices do tabuleiro [tex]3 \\times 3[\/tex] mostrado na figura dever\u00e3o ser coloridos e, em cada quadradinho do tabuleiro, est\u00e1 indicada a quantidade de v\u00e9rtices que devem ser coloridos no respectivo quadradinho.<\/p>\n<ul>\n<li>Por exemplo, o n\u00famero [tex]2[\/tex] que aparece no primeiro quadradinho da primeira linha indica que esse quadradinho dever\u00e1 ter exatamente dois v\u00e9rtices coloridos.<\/li>\n<\/ul>\n<p>No entanto, a pessoa encarregada de indicar os n\u00fameros nos nove quadradinhos se enganou e colocou uma letra no lugar do n\u00famero do quadradinho central.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/prob360_real.png\" alt=\"\" width=\"199\" height=\"186\" style=\"border: none;\" class=\"aligncenter size-full wp-image-134529\" \/><\/p>\n<p><strong>Quais as possibilidades de valores para [tex]B[\/tex]?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Para a solu\u00e7\u00e3o deste problema, denotaremos por [tex]Q_{n,m}[\/tex] o quadradinho que est\u00e1 na linha [tex]n[\/tex] e na coluna [tex]m[\/tex] do tabuleiro.<br \/>\n[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Vamos come\u00e7ar a nossa an\u00e1lise observando o quadradinho que est\u00e1 na segunda linha e na terceira coluna do tabuleiro, o qual denotaremos por [tex]Q_{2,3}[\/tex]. <\/p>\n<ul>\n<li> Vemos que tr\u00eas dos quatro v\u00e9rtices do quadradinho [tex]Q_{2,3}[\/tex] devem ser pintados; logo, pelo menos um de seus v\u00e9rtices superiores e pelo menos um de seus v\u00e9rtices inferiores devem ser pintados. Mas devemos pintar apenas um dos v\u00e9rtices do quadradinho [tex]Q_{1,3}[\/tex] acima dele; assim exatamente um de dois v\u00e9rtices superiores de [tex]Q_{2,3}[\/tex] deve ser pintado e, consequentemente, devem ser pintados os seus dois v\u00e9rtices inferiores. Vamos colorir esses dois v\u00e9rtices inferiores na <strong>Figura 1<\/strong>, abaixo.<\/li>\n<li>Como apenas um dos v\u00e9rtices do quadradinho [tex]Q_{1,3}[\/tex] deve ser pintado e j\u00e1 sabemos que um dos seus v\u00e9rtices inferiores vai ser pintado, os dois v\u00e9rtices superiores de [tex]Q_{1,3}[\/tex] n\u00e3o ser\u00e3o pintados. Para lembrar desse fato, vamos retirar os dois pequenos c\u00edrculos que demarcam esses v\u00e9rtices no tabuleiro mostrado na <strong>Figura 1<\/strong>. N\u00e3o colorimos nenhum v\u00e9rtice superior de [tex]Q_{1,3}[\/tex], pois n\u00e3o sabemos exatamente qual ser\u00e1 colorido. <\/li>\n<li>J\u00e1 sabemos que os dois v\u00e9rtices inferiores do quadradinho [tex]Q_{2,3}[\/tex] ser\u00e3o pintados. Logo, como apenas dois dos v\u00e9rtices do quadrinho [tex]Q_{3,3}[\/tex]  ser\u00e3o pintados,  necessariamente os dois v\u00e9rtices inferiores de [tex]Q_{3,3}[\/tex] n\u00e3o ser\u00e3o pintados. Igualmente, vamos retirar os dois pequenos c\u00edrculos que demarcam esses v\u00e9rtices no tabuleiro mostrado na <strong>Figura 1<\/strong>. <\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob360_1.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"186\" height=\"208\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137616\" \/><\/p>\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Agora, vamos observar o quadradinho do canto inferior esquerdo do tabuleiro, o [tex]Q_{3,1}[\/tex]. <\/p>\n<ul>\n<li>Vemos que tr\u00eas dos v\u00e9rtices de [tex]Q_{3,1}[\/tex] devem ser pintados, mas n\u00e3o podemos pintar os seus dois v\u00e9rtices \u00e0 direita; pois, se assim o fiz\u00e9ssemos, o quadradinho [tex]Q_{3,2}[\/tex] ficaria com tr\u00eas de seus v\u00e9rtices coloridos e isso n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, j\u00e1 que ele tem apenas dois v\u00e9rtices a serem pintados. Dessa forma os dois v\u00e9rtices esquerdos de [tex]Q_{3,1}[\/tex] ser\u00e3o necessariamente pintados. Registraremos essa conclus\u00e3o colorindo esses dois v\u00e9rtices na <strong>Figura 2<\/strong>. N\u00e3o iremos colorir um dos v\u00e9rtices \u00e0 esquerda de [tex]Q_{3,1}[\/tex], pois n\u00e3o temos informa\u00e7\u00e3o sobre qual ser\u00e1 pintado. <\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob360_2.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"193\" height=\"206\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137623\" \/><\/p>\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] Finalmente, vamos tentar obter informa\u00e7\u00f5es sobre o quadradinho central em quest\u00e3o, isto \u00e9, o quadradinho [tex]Q_{2,2}.[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<li>J\u00e1 sabemos que pelo menos o v\u00e9rtice inferior direito de [tex]Q_{2,2}[\/tex] vai ser colorido. No entanto n\u00e3o podemos colorir apenas esse v\u00e9rtice, pois, se assim fosse, ter\u00edamos problemas com o quadradinho [tex]Q_{1,2}[\/tex]: como temos que pintar dois dos tr\u00eas v\u00e9rtices de [tex]Q_{1,2}[\/tex] poss\u00edveis de serem pintados, necessariamente um dos v\u00e9rtices superiores de [tex]Q_{2,2}[\/tex] vai ser pintado. <\/li>\n<p>Logo, [tex]\\boxed{B\\ne 1}.[\/tex]<\/p>\n<li>Tampouco podemos ter [tex]B=4[\/tex]. pois, se isso ocorresse, ter\u00edamos tr\u00eas v\u00e9rtices de [tex]Q_{2,1}[\/tex] pintados. E isso n\u00e3o poder ocorrer, j\u00e1 que a informa\u00e7\u00e3o que temos \u00e9 que  [tex]Q_{2,1}[\/tex] tem apenas dois de seus v\u00e9rtices coloridos.<\/li>\n<p>Portanto, [tex]\\boxed{B\\ne 4}.[\/tex]<\/p>\n<li>Restam dois valores para [tex]B[\/tex]: [tex]2[\/tex] e [tex]3.[\/tex] Para garantir que os dois valores s\u00e3o poss\u00edveis, mostraremos duas configura\u00e7\u00f5es para o tabuleiro que mostram que, de fato, [tex]B[\/tex] pode assumir esses dois valores.<br \/>\nNa <strong>Figura 3<\/strong> consideramos [tex]B=2[\/tex] e na <strong>Figura 4<\/strong> consideramos [tex]B=3.[\/tex] <\/li>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob360_3.png\" style=\"border: none;\"alt=\"\" width=\"468\" height=\"210\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137628\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob360_3.png 468w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob360_3-300x135.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 468px) 100vw, 468px\" \/><\/p>\n<p>Observe que poder\u00edamos tamb\u00e9m ter feito a configura\u00e7\u00e3o mostrada na <strong>Figura 5<\/strong> para [tex]B=2[\/tex] e a configura\u00e7\u00e3o da <strong>Figura 6<\/strong> para  [tex]B=3.[\/tex]\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob360_4.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"458\" height=\"210\" class=\"aligncenter size-full wp-image-137634\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob360_4.png 458w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob360_4-300x138.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 458px) 100vw, 458px\" \/><\/p>\n<p>De qualquer forma, <strong>s\u00e3o duas as possibilidades de valores para [tex]B[\/tex]<\/strong>: [tex]\\boxed{B=2} [\/tex] ou [tex] \\boxed{B=3} .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/PAE_V\u00e9rtices-coloridos.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ PAE_V\u00e9rtices coloridos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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