Problema (SANTOS, J.P; MELLO, M.P; MURARI, I.T.C. Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 An\u00e1lise Combinat\u00f3ria- Adaptado)<\/span> De quantas maneiras podemos distribuir [tex] 98 [\/tex] livros iguais entre [tex] 4 [\/tex] escolas? Pode ocorrer o caso de alguma das escolas n\u00e3o receber livro algum.<\/p>\n \n<\/div>\n Lembrete:<\/strong> <\/p>\n Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex]. [tex]C_{n,r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\,r!} \\text{, com } n,r\\in\\mathbb{N} \\text{ e } r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Para solucionar o problema usaremos uma t\u00e9cnica de contagem que aparece na maioria dos livros did\u00e1ticos como Combina\u00e7\u00e3o Completa<\/em><\/strong>. Observe dois exemplos de distribui\u00e7\u00e3o dos [tex] 98 [\/tex] livros:<\/p>\n Essas solu\u00e7\u00f5es, assim como as demais, podem ser representadas por sequ\u00eancias ordenadas: [tex] (23, 44, 0, 31) [\/tex] e [tex] (22, 44, 1, 31). [\/tex] [tex]\\begin{array}{ccccc} Para distribuir os livros entre as escolas, formaremos uma fila com os [tex] 98 [\/tex] s\u00edmbolos [tex] \\textcolor{blue}{\\oplus} [\/tex] e usaremos os [tex]3[\/tex] sinais [tex] \\textcolor{red}{\\setminus}[\/tex] para separar os lotes. A pergunta cuja resposta resolve o nosso problema \u00e9:<\/p>\n Podemos pensar que temos [tex] 98 +3=101[\/tex] posi\u00e7\u00f5es e destas vamos escolher [tex]3[\/tex] para colocar os s\u00edmbolos [tex] \\textcolor{red}{\\setminus}[\/tex] ou, se preferir, das [tex] 98 +3=101[\/tex] posi\u00e7\u00f5es, vamos escolher [tex]98[\/tex] para colocar os s\u00edmbolos [tex] \\textcolor{blue}{\\oplus}.[\/tex] [tex] \\underbrace{\\underline{\\qquad }\\quad \\underline{\\qquad }\\quad\\underline{\\qquad }\\quad\\underline{\\qquad }\\quad \\dots \\quad \\underline{\\qquad }\\quad\\underline{\\qquad }}_{101}[\/tex]<\/p>\n Podemos fazer qualquer uma das duas contagens utilizando combina\u00e7\u00f5es simples: [tex]C_{101}^3[\/tex] ou [tex]C_{101}^{98}[\/tex], j\u00e1 que uma propriedade da An\u00e1lise Combinat\u00f3ria nos assegura que [tex]C_{101}^3=C_{101}^{98}.[\/tex] [tex]\\dfrac{101!}{98!\\, 3!} = \\dfrac{ 101 \\times 100 \\times 99 \\times 98!}{ 98!\\,3!} = \\dfrac{ 101 \\times 100 \\times 99}{6}= \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$166 \\,650$} [\/tex]. <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Para aprender mais…<\/em><\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\nE o legal \u00e9 que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.<\/p>\n\n
\n
\nSejam [tex] x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} [\/tex] as quantidades de livros que as escolas [tex] E_1, E_2, E_3[\/tex] e [tex] E_4 [\/tex] receber\u00e3o, respectivamente. Temos, ent\u00e3o, que:<\/p>\n\n
\n
\n \n \n
\n \n
\nPodemos tamb\u00e9m representar as solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o [tex] x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}=98 [\/tex] utilizando [tex] 98 [\/tex] sinais [tex] \\textcolor{blue}{\\oplus} [\/tex], que representar\u00e3o os livros a serem distribu\u00eddos, e [tex]3[\/tex] sinais [tex] \\textcolor{red}{\\setminus}[\/tex], que separar\u00e3o os lotes de livros que cada escola receber\u00e1. Particularmente, as solu\u00e7\u00f5es [tex] (23, 44, 0, 31) [\/tex] e [tex] (22, 44, 1, 31)[\/tex] seriam representadas como:<\/p>\n
\n \\underbrace{\\textcolor{blue}{\\oplus} \\textcolor{blue}{\\oplus} \\textcolor{blue}{\\oplus} \\dots \\textcolor{blue}{\\oplus}} \\textcolor{red}{\\setminus} & \\underbrace{\\textcolor{blue}{\\oplus} \\textcolor{blue}{\\oplus} \\textcolor{blue}{\\oplus} \\dots \\textcolor{blue}{\\oplus}} & \\textcolor{red}{\\setminus} \\underbrace{ } \\textcolor{red}{\\setminus} &
\n \\underbrace{\\textcolor{blue}{\\oplus} \\textcolor{blue}{\\oplus} \\textcolor{blue}{\\oplus} \\dots \\textcolor{blue}{\\oplus}} \\\\
\n 23 & 44 & 0 & 31 \\\\
\n \\end{array} [\/tex]
\n [tex]\\begin{array}{ccccc}
\n \\underbrace{\\textcolor{blue}{\\oplus} \\dots \\textcolor{blue}{\\oplus}} \\textcolor{red}{\\setminus} & \\underbrace{\\textcolor{blue}{\\oplus} \\dots \\textcolor{blue}{\\oplus}} & \\textcolor{red}{\\setminus} \\underbrace{\\textcolor{blue}{\\oplus} } \\textcolor{red}{\\setminus} &
\n \\underbrace{\\textcolor{blue}{\\oplus} \\textcolor{blue}{\\oplus} \\dots \\textcolor{blue}{\\oplus}} \\\\
\n 22 & 44 & 1 & 31 \\\\
\n \\end{array} [\/tex] <\/p>\n\n
\nA primeira situa\u00e7\u00e3o equivale a escolher [tex]3[\/tex] dentre [tex]101[\/tex] objetos e a segunda equivale a escolher [tex]98[\/tex] dentre [tex]101[\/tex] objetos.<\/p>\n
\nDe qualquer forma, o n\u00famero de maneiras poss\u00edveis de distribuir [tex] 98[\/tex] livros entre as [tex]4[\/tex] escolas pode ser assim calculado:<\/p>\n
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\n