Problema (FUVEST<\/strong>, 2009 – Adaptado) Seis times de futebol, entre os quais est\u00e3o [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], v\u00e3o disputar um campeonato. Suponha que na classifica\u00e7\u00e3o final n\u00e3o existam empates. Um indiv\u00edduo fez duas apostas sobre a classifica\u00e7\u00e3o final. Na primeira, apostou que [tex]A[\/tex] n\u00e3o seria campe\u00e3o; na segunda, apostou que [tex]B[\/tex] seria o \u00faltimo colocado. \n<\/div>\n \n Lembrete<\/p>\n \n ✏<\/strong> <\/span> Dados conjuntos, [tex]C_1[\/tex] e [tex]C_2[\/tex], o n\u00famero de elementos da uni\u00e3o desses dois conjuntos \u00e9 dado por: ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas [tex]k[\/tex] decis\u00f5es \u00e9 igual ao produto \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n a)<\/strong> Pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/strong>, temos um total de [tex]6\\cdot 5\\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1=720[\/tex] classifica\u00e7\u00f5es poss\u00edveis.<\/p>\n b)<\/strong> J\u00e1 sabemos que o total de classifica\u00e7\u00f5es poss\u00edveis \u00e9 [tex]720[\/tex]. Agora, calculemos:<\/p>\n Temos [tex]5[\/tex] possibilidade para a primeira posi\u00e7\u00e3o, [tex]5[\/tex] para a segunda, [tex]4[\/tex] para a terceira, [tex]3[\/tex] para a quarta, [tex]2[\/tex] para a quinta e [tex]1[\/tex] para a sexta. Logo, temos um total de [tex]5\\cdot 5\\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2 \\cdot 1=600[\/tex].<\/p>\n Temos [tex]5[\/tex] possibilidades para a primeira posi\u00e7\u00e3o, [tex]4[\/tex] para a segunda, [tex]3[\/tex] para a terceira, [tex]2[\/tex] para a quarta, [tex]1[\/tex] para a quinta e [tex]1[\/tex] para a sexta. Assim, temos um total de [tex]5 \\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1 \\cdot 1=120[\/tex].<\/ul>\n Agora, vejamos quantos casos correspondem \u00e0 intersec\u00e7\u00e3o dos dois casos anteriores, ou seja, [tex]A[\/tex] n\u00e3o \u00e9 primeiro e [tex]B[\/tex] \u00e9 o \u00faltimo. Temos [tex]4[\/tex] possibilidades para a primeira posi\u00e7\u00e3o, [tex]4[\/tex] para a segunda, [tex]3[\/tex] para a terceira, [tex]2[\/tex] para a quarta, [tex]1[\/tex] para a quinta e [tex]1[\/tex] para a sexta. Portanto, temos um total de [tex]4 \\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1 \\cdot 1=96[\/tex].\u00a0<\/p>\n Desta forma, s\u00e3o [tex]600+120-96=624[\/tex] classifica\u00e7\u00f5es poss\u00edveis para ele ganhar a aposta.<\/p>\n Utilizando os nosso c\u00e1lculos, poder\u00edamos ilustrar a resposta do problema por meio de um diagrama de Venn:<\/li>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\n
\nResponda:<\/strong>
\na) Quantas s\u00e3o as classifica\u00e7\u00f5es poss\u00edveis?
\nb) Em quantas classifica\u00e7\u00f5es poss\u00edveis esse indiv\u00edduo ganha?<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{n(C_1 \\cup C_2)=n(C_1)+n(C_2)-n(C_1 \\cap C_2)}[\/tex].
\n ✏<\/strong> <\/span>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo<\/strong>: Se<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\cdot m_2 \\cdot \\ldots \\cdot m_k}\\, .[\/tex]
\n (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/fig083.png\")
<\/p>\n\n
\n
\n
\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/11\/f017.png\")
\nPortanto, a quantidade de casos pedidos \u00e9 [tex]504+96+24=624[\/tex].<\/ul>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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