{"id":137473,"date":"2019-10-15T23:49:19","date_gmt":"2019-10-16T02:49:19","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=137473"},"modified":"2024-06-22T00:55:57","modified_gmt":"2024-06-22T03:55:57","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-area-de-um-triangulo-um-belo-desafio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-area-de-um-triangulo-um-belo-desafio\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: \u00c1rea de um tri\u00e2ngulo – um belo desafio"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

(XXVIII OPM<\/strong> – 2009) Na figura abaixo, os tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]DEF[\/tex] s\u00e3o equil\u00e1teros e os segmentos [tex]AD [\/tex] e [tex]CE[\/tex] medem respectivamente [tex]1\\; [\/tex]cm e [tex]2\\; [\/tex]cm.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Determinar a medida da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]DEF.[\/tex]<\/strong><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes para a Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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(1)<\/strong><\/span> A medida de cada \u00e2ngulo interno de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero \u00e9 [tex]60^\\circ[\/tex].
\n(2)<\/strong><\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].
\n(3)<\/strong><\/span> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes dois \u00e2ngulos e o lado compreendido por eles, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes pelo caso A.L.A.<\/strong> .
\n(4)<\/strong><\/span> Se dois lados de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o proporcionais a dois lados de outro tri\u00e2ngulo e os \u00e2ngulos internos definidos por esses lados s\u00e3o congruentes, ent\u00e3o os tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes pelo caso L.A.L.<\/strong> .
\n(5)<\/strong><\/span> A \u00e1rea [tex] A_{teq}[\/tex] de um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero de lados com comprimento [tex]l[\/tex] pode ser assim calculada:
\n[tex]\\qquad A_{teq}=\\dfrac{l^2\\cdot\\sqrt{3}}{4}.[\/tex]
\nNota\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/span> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline {XY} [\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY.[\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

\n

\n

Muitos tri\u00e2ngulos e poucas medidas de lados! <\/strong>
\nIsso aponta para utiliza\u00e7\u00e3o de semelhan\u00e7a ou congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos. Vamos ent\u00e3o investigar algumas medidas de \u00e2ngulos. Para isso, vamos denotar por [tex]\\textcolor{red}{\\theta}[\/tex] a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]C\\hat{E}F[\/tex]. <\/p>\n

    \n
  • Observe que, como o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero, ent\u00e3o a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{C}B[\/tex] \u00e9 [tex] 60^\\circ[\/tex]. Como a soma dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo vale [tex]180^\\circ[\/tex], consequentemente, a medida do \u00e2ngulo [tex]E\\hat{F}C[\/tex] \u00e9 [tex] \\textcolor{#009900}{180^\\circ-60^\\circ-\\theta=\\boxed{120^\\circ-\\theta}}.[\/tex]<\/li>\n
  • Por outro lado, veja que a soma das medidas dos \u00e2ngulos [tex]E\\hat{F}C[\/tex], [tex]E\\hat{F}D[\/tex] e [tex]D\\hat{F}A[\/tex] \u00e9 [tex] 180^\\circ[\/tex] e o tri\u00e2ngulo [tex]EFD[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero. Assim, a medida de [tex]D\\hat{F}A[\/tex] \u00e9 [tex] \\textcolor{red}{180^\\circ-(120^\\circ-\\theta)-60^\\circ=\\boxed{\\theta}}[\/tex] e, consequentemente, a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{D}F[\/tex] \u00e9 [tex] \\textcolor{#009900}{180^\\circ-\\theta-60^\\circ=\\boxed{120^\\circ-\\theta}}.[\/tex]\n
  • Tamb\u00e9m podemos notar que a soma das medidas dos \u00e2ngulos [tex]A\\hat{D}F[\/tex], [tex]F\\hat{D}E[\/tex] e [tex]E\\hat{D}B[\/tex] \u00e9 [tex] 180^\\circ.[\/tex] Como o tri\u00e2ngulo [tex]EFD[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero, segue que a medida de [tex]E\\hat{D}B[\/tex] \u00e9 [tex] \\textcolor{red}{180^\\circ-(120^\\circ-\\theta)-60^\\circ=\\boxed{\\theta}}[\/tex] e, ent\u00e3o, a medida do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{E}D[\/tex] \u00e9 [tex] \\textcolor{#009900}{180^\\circ-\\theta-60^\\circ=\\boxed{120^\\circ-\\theta}}.[\/tex]\n<\/ul>\n

    \"\"<\/p>\n

    Dessa forma, pelo caso A.L.A.<\/strong>, os tri\u00e2ngulos [tex]EFC[\/tex], [tex]FDA[\/tex] e [tex]DEB[\/tex] s\u00e3o congruentes e, portanto, seus lados correspondentes t\u00eam a mesma medida.
    \nComo [tex]AD=1\\; [\/tex]cm e [tex]CE=2\\; [\/tex]cm , temos que [tex]AD=BE=CF=1\\; [\/tex]cm e [tex]CE=BD=AF=2\\; [\/tex]cm.<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Agora, vamos tentar obter a medida dos lados do tri\u00e2ngulo [tex]DEF[\/tex] utilizando o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex].
    \nNo tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] consideraremos a altura [tex]\\overline{BH}[\/tex] relativa ao lado [tex]\\overline{CA}[\/tex]. Como [tex]ABC[\/tex] \u00e9 tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, [tex]\\overline{BH}[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 uma mediana; logo [tex]CH=\\dfrac{3}{2}\\; [\/tex]cm.
    \nA partir dessa informa\u00e7\u00e3o, ao observarmos com cuidado os tri\u00e2ngulos [tex]BCH[\/tex] e [tex]ECF[\/tex] podemos concluir que eles s\u00e3o semelhantes, j\u00e1 que os lados [tex]\\overline{CH}[\/tex] e [tex]\\overline{CB}[\/tex] s\u00e3o proporcionais aos lados [tex]\\overline{CF}[\/tex] e [tex]\\overline{CE}[\/tex], al\u00e9m de esses lados definirem, respectivamente, dois \u00e2ngulos de [tex]60^\\circ:[\/tex]
    \n[tex]\\qquad \\qquad \\dfrac{CH}{CB}=\\dfrac{\\frac{3}{2}}{3}=\\dfrac{3}{2} \\times \\dfrac{1}{3}= \\dfrac{1}{2}=\\dfrac{CF}{CE}.[\/tex]<\/p>\n

    \"\"
    \n\"\" <\/p>\n

    Dessa semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos, conclu\u00edmos que [tex]E\\hat{F}C[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo de [tex]90^\\circ[\/tex] e, portanto, [tex]ECF[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo. Com isso, podemos obter a medida do segmento [tex]\\overline{EF}[\/tex] aplicando o Teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo [tex]CFE:[\/tex]
    \n[tex]\\qquad EF^2+1^2=2^2\\\\
    \n\\qquad EF^2=4-1=3\\\\
    \n\\qquad EF=\\pm\\sqrt{3}.[\/tex]
    \nComo [tex]EF \\gt 0[\/tex], temos que [tex] \\boxed{EF=\\sqrt{3}\\; \\text{ cm}}.[\/tex]<\/p>\n

    Pronto, finalmente temos condi\u00e7\u00f5es de calcular a medida [tex]S[\/tex] da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]DEF.[\/tex]
    \nPela f\u00f3rmula do Lembrete (5)<\/strong><\/span>, temos que:
    \n[tex]\\qquad S=\\dfrac{\\left(\\sqrt{3}\\right)^2\\cdot\\sqrt{3}}{4}\\\\
    \n\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{4}\\; \\text{ cm}^2$}\\; .[\/tex]<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

    \n

    \"explicador_p\" <\/p>\n

    Lembretes para a Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

    \n

    \"definindo1\" ✐ <\/span>Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Seja [tex]ACB[\/tex] um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com catetos e hipotenusa com comprimentos [tex]a,\\; b,\\; h[\/tex], respectivamente. Seja [tex]\\theta[\/tex] a medida em graus de um dos \u00e2ngulos agudos desse tri\u00e2ngulo, [tex]0^{\\circ} \\lt\\theta\\lt 90^{\\circ}[\/tex].
    \nChamamos cosseno de<\/em> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]cos\\; \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto adjacente a [tex]\\theta[\/tex] e da hipotenusa:[tex]\\boxed{ cos\\; \\theta= \\dfrac{b}{h}}.[\/tex]
    \nChamamos seno de<\/em> [tex]\\theta[\/tex], e denotamos por [tex]sen\\; \\theta[\/tex], a raz\u00e3o entre os comprimentos do cateto oposto a [tex]\\theta[\/tex] e da hipotenusa:[tex]\\boxed{ sen\\; \\theta= \\dfrac{a}{h}}.[\/tex]<\/p>\n

    \"\" ✐ <\/span> [tex]\\; \\; sen\\; 60^{\\circ}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\qquad\\qquad[\/tex] [tex] cos\\; 60^{\\circ}=\\dfrac{1}{2}\\; .[\/tex]
    \n ✐ <\/span> Lei dos cossenos<\/strong>:
    \nPara um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] da figura ao lado, a lei dos cossenos garante as seguintes rela\u00e7\u00f5es entre seus lados e seus \u00e2ngulos:
    \n[tex]\\qquad a^2 = b^2 + c^2 \u2013 2\\cdot b\\cdot c\\cdot cos\\; \\alpha[\/tex];
    \n[tex]\\qquad b^2 = a^2 + c^2 \u2013 2\\cdot a\\cdot c\\cdot cos\\; \u03b2[\/tex];
    \n[tex]\\qquad c^2 = a^2 + b^2 \u2013 2\\cdot a\\cdot b\\cdot cos\\; \\theta [\/tex].\n<\/div>\n

    \n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

    \n

    \n

    \"\"<\/p>\n

    \nA partir da determina\u00e7\u00e3o dos comprimentos [tex]AD=BE=CF=1\\; [\/tex]cm e [tex]CE=BD=AF=2\\; [\/tex]cm, podemos utilizar a Lei dos cossenos no tri\u00e2ngulo [tex]CFE[\/tex] para obter rapidamente o comprimento do segmento [tex]\\overline{EF}:[\/tex]
    \n[tex]\\quad EF^2=1^2+2^2-2\\cdot 1\\cdot 2 \\cdot cos\\; 60^\\circ[\/tex]
    \n[tex]\\quad EF^2=1+4-4 \\cdot \\dfrac{1}{2}[\/tex]
    \n[tex]\\quad EF^2=3[\/tex]
    \n[tex]\\quad EF=\\pm\\sqrt{3}.[\/tex]
    \nComo [tex]EF \\gt 0[\/tex], temos que [tex] \\boxed{EF=\\sqrt{3}\\;\\text{ cm} }[\/tex].<\/p>\n

    Vamos finalizar esta solu\u00e7\u00e3o utilizando a defini\u00e7\u00e3o de seno de um \u00e2ngulo para calcular o comprimento [tex]h[\/tex] da altura do tri\u00e2ngulo [tex]EFD[\/tex] e, consequentemente, a medida [tex]S[\/tex] de sua \u00e1rea.<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n