{"id":137325,"date":"2019-10-15T23:46:58","date_gmt":"2019-10-16T02:46:58","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=137325"},"modified":"2024-06-22T00:53:12","modified_gmt":"2024-06-22T03:53:12","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-45-e-45","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-45-e-45\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: 45 e 45"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220590\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#FF8C00\"> (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio <\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>XXVIII OPM<\/strong> &#8211; 2009) Quantos n\u00fameros naturais de quatro algarismos terminados em [tex]45 [\/tex] s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]45[\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"> Ajuda<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span style=\"font-size: 22px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span> <strong>Divisibilidade por [tex]5[\/tex]<\/strong>: Um n\u00famero natural \u00e9 divis\u00edvel por [tex]5[\/tex] se, e somente se, terminar em  [tex]0[\/tex], ou [tex]5[\/tex].<br \/>\n<span style=\"font-size: 22px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span> <strong>Divisibilidade por [tex]9[\/tex]<\/strong>: Um n\u00famero natural \u00e9 divis\u00edvel por [tex]9[\/tex] se, e somente se, a soma de seus algarismos for divis\u00edvel por [tex]9[\/tex].<br \/>\n<span style=\"font-size: 22px;\"><strong> &#9999;<\/strong> <\/span> <strong>Divisibilidade por [tex]45[\/tex]:<\/strong> Um n\u00famero natural \u00e9 divis\u00edvel por [tex]45[\/tex] se, e somente se,  for divis\u00edvel simultaneamente por [tex]5[\/tex] e [tex]9[\/tex].\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Duas observa\u00e7\u00f5es iniciais:<\/p>\n<ul>\n<li>N\u00fameros naturais de quatro algarismos terminados em [tex]45 [\/tex] s\u00e3o da forma [tex]\\boxed{ab45}[\/tex], sendo [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] algarismos, [tex]\\, a\\ne0,[\/tex]<\/li>\n<li>Para que seja m\u00faltiplo de [tex]45[\/tex], [tex]\\boxed{ab45}[\/tex] deve ser m\u00faltiplo simultaneamente de [tex]5[\/tex] e [tex]9.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"font-size:12px;\"> (Antes de prosseguir, observe que aqui a nota\u00e7\u00e3o  [tex]ab45[\/tex] n\u00e3o indica um produto e sim a  representa\u00e7\u00e3o de um n\u00famero de quatro algarismos no sistema decimal.)<\/span><br \/>\nComo termina em [tex]5[\/tex], [tex]\\boxed{ab45}[\/tex] j\u00e1 \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex], independentemente dos valores [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex]; dessa forma, precisaremos apenas procurar n\u00fameros da forma [tex]\\boxed{ab45}[\/tex] que sejam m\u00faltiplos de [tex]9.[\/tex] E para isso, precisamos procurar algarismos [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] tais que [tex]\\, a\\ne 0[\/tex] e a soma [tex]a+b+4+5[\/tex] seja um m\u00faltiplo de [tex]9.[\/tex]<br \/>\nComo [tex]a+b+4+5=a+b+9[\/tex], basta que a soma dos algarismos [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] seja um m\u00faltiplo de [tex]9.[\/tex]<br \/>\nAgora ficou f\u00e1cil, n\u00e3o \u00e9?<br \/>\nVejamos:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]a=1[\/tex] e [tex]b=8[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]a=2[\/tex] e [tex]b=7[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]a=3[\/tex] e [tex]b=6[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]a=4[\/tex] e [tex]b=5[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]a=5[\/tex] e [tex]b=4[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]a=6[\/tex] e [tex]b=3[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]a=7[\/tex] e [tex]b=2[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]a=8[\/tex] e [tex]b=1[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]a=9[\/tex] e [tex]b=0[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]a=9[\/tex] e [tex]b=9.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, s\u00e3o dez n\u00fameros que atendem as condi\u00e7\u00f5es do problema.<br \/>\nO problema n\u00e3o pede quais s\u00e3o esses n\u00fameros, mas \u00e9 muito f\u00e1cil elenc\u00e1-los:<br \/>\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1845 \\;;\\;2745\\;;\\;3645\\;;\\;4545\\;;\\;5445\\;;\\;6345\\;;\\;7245\\;;\\;8145\\;;\\;9045\\;;\\;9945$}\\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/PAE_45-e-45.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ PAE_45 e 45.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 7\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio ) (XXVIII OPM &#8211; 2009) Quantos n\u00fameros naturais de quatro algarismos terminados em [tex]45 [\/tex] s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]45[\/tex]? Ajuda &#9999; Divisibilidade por [tex]5[\/tex]: Um n\u00famero natural \u00e9 divis\u00edvel por [tex]5[\/tex] se, e &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-45-e-45\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-137325","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/137325","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=137325"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/137325\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220592,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/137325\/revisions\/220592"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=137325"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}