Problema A figura abaixo apresenta um ret\u00e2ngulo cujas dimens\u00f5es medem [tex]2\\;cm[\/tex] e [tex]6\\;cm[\/tex], uma semicircunfer\u00eancia de centro [tex]A[\/tex] e raio [tex]2\\;cm[\/tex] e outra semicircunfer\u00eancia de centro [tex]B[\/tex] e raio [tex]1\\;cm[\/tex]. Calcule a medida do raio da circunfer\u00eancia tangente ao ret\u00e2ngulo e \u00e0s semicircunfer\u00eancias.<\/p>\n \n<\/div>\n \n Lembrete<\/p>\n ✏<\/strong> <\/span>Heron de Alexandria<\/strong> (± 10 – 70), ou ainda Hero ou Her\u00e3o, foi um matem\u00e1tico grego. \u00c9 dele a f\u00f3rmula que nos permite calcular a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo em fun\u00e7\u00e3o das medidas dos seus tr\u00eas lados. \n [tex]\\qquad \\qquad A=\\sqrt{p\\cdot(p-a)\\cdot(p-b)\\cdot(p-c)}[\/tex],<\/p>\n \n onde [tex]p[\/tex] \u00e9 o semiper\u00edmetro do tri\u00e2ngulo em quest\u00e3o, ou seja, [tex]p=\\dfrac{a+b+c}{2}\\, .[\/tex] \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Inicialmente, vamos construir o tri\u00e2ngulo [tex]AOB[\/tex]. Sendo [tex]r[\/tex] o raio procurado, note que o tri\u00e2ngulo constru\u00eddo possui base [tex]AB=3\\;cm[\/tex] e altura relativa ao lado [tex]AB[\/tex] valendo [tex]2-r[\/tex].<\/p>\n Portanto, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]AOB[\/tex] pode ser calculada por: Pelo lembrete, tamb\u00e9m podemos calcular sua \u00e1rea usando a f\u00f3rmula de Her\u00e3o: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/08\/Raio-menor.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\nEm um tri\u00e2ngulo de lados medindo [tex]a,\\, b,\\, c[\/tex], a f\u00f3rmula de Her\u00e3o nos garante que a \u00e1rea [tex]A[\/tex] desse tri\u00e2ngulo \u00e9:<\/p>\n
\n– Para rever esse tema, clique AQUI<\/strong><\/a>.
\n– Para aprender um pouco mais sobre esse tema, clique AQUI<\/strong><\/a>.
\n<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Raio-menor-S1.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad S=\\dfrac{3\\cdot(2-r)}{2}.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nPor\u00e9m, o tri\u00e2ngulo [tex]AOB[\/tex] possui lados [tex]AB=3\\;cm[\/tex], [tex]AO=2+r[\/tex] e [tex]OB=1+r[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Raio-menor-S2.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad S=\\sqrt{(3+r)\\cdot r\\cdot 1 \\cdot 2}=\\sqrt{6r + 2r^{2}}\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nLogo, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}\\, [\/tex] e [tex]\\, \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{3\\cdot(2-r)}{2}=\\sqrt{6r + 2r^{2}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad 3\\cdot(2-r)=2\\cdot\\sqrt{6r + 2r^{2}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad (3\\cdot(2-r))^{2}=(2\\cdot\\sqrt{6r + 2r^{2}})^2[\/tex]
\n[tex]\\qquad 9\\cdot(2-r)^{2}=4\\cdot\\ (6r + 2r^{2})[\/tex]
\n[tex]\\qquad 9\\cdot(4-4r+r^{2})=24r+8r^{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad 36-36r+9r^{2}=24r+8r^{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad r^{2}-60r+36=0. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\nA equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}\\, [\/tex] \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o do 2\u00ba grau com discriminante [tex]\\Delta = 3456[\/tex] e, como [tex]\\sqrt{3456}=24\\sqrt{6}[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad r= \\dfrac{60\\pm24\\sqrt{6}}{2}[\/tex];
\ndonde conclu\u00edmos que [tex]r=30-12\\sqrt{6}[\/tex] ou [tex]r=30+12\\sqrt{6}.[\/tex]
\nNote que o valor [tex]30+12\\sqrt{6}[\/tex] n\u00e3o conv\u00e9m para a solu\u00e7\u00e3o do problema, pois o valor do raio n\u00e3o pode ser maior que o lado do ret\u00e2ngulo. Portanto, a medida do raio da circunfer\u00eancia em quest\u00e3o \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$30-12\\sqrt{6}\\, cm $}[\/tex], ou seja, aproximadamente [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0,6\\; cm $}.[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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