{"id":137171,"date":"2019-10-15T23:54:15","date_gmt":"2019-10-16T02:54:15","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=137171"},"modified":"2024-06-22T01:01:32","modified_gmt":"2024-06-22T04:01:32","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-vamos-jogar","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-vamos-jogar\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Vamos jogar?"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n(XXIX Olimp\u00edada Madri<\/strong>, 1993 – Adaptado) Matheus ganhou um jogo eletr\u00f4nico em cuja tela aparece um esquema como o mostrado na figura abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Nesse jogo, cada partida \u00e9 jogada da seguinte forma:
\n(1)<\/strong> No in\u00edcio da partida, uma bola aparece no ponto S<\/strong>.
\n(2)<\/strong> Cada vez que o jogador toca na tela, essa bola se move at\u00e9 a extremidade oposta de um dos segmentos com extremidade no ponto onde a bola se encontra. Por exemplo, se a bola est\u00e1 sobre o ponto D<\/strong>, ela poder\u00e1 se mover apenas para o ponto A<\/strong> ou para o ponto C<\/strong>; mas se a bola estiver sobre o ponto C<\/strong>, outro exemplo, ela poder\u00e1 se movimentar at\u00e9 B<\/strong> ou D<\/strong> ou G<\/strong>.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

(3)<\/strong> A partida termina quando ocorrer o primeiro de um destes dois casos:<\/p>\n

    \n
  • A bola volta para o ponto S, e neste caso o jogador perde a partida.<\/li>\n
  • A bola chega no ponto G, e ent\u00e3o o jogador ganha a partida.<\/li>\n<\/ul>\n

    Se a chance de, estando em um ponto, a bola se mover para qualquer dos pontos poss\u00edveis \u00e9 a mesma, qual probabilidade \u00e9 maior: a de o jogador ganhar ou a de ele perder?<\/strong><\/p>\n

    \n<\/div>\n

    \n

    \"explicador_p\" <\/p>\n

    AJUDA<\/p>\n

    ✐ <\/span> Dada uma progress\u00e3o geom\u00e9trica infinita [tex](a_1,a_1\\cdot q, a_1\\cdot q^2,\\cdots,a_1\\cdot q^{n-1},\\cdots)[\/tex] de raz\u00e3o [tex]q\\, [\/tex], [tex]0\\lt q\\lt 1[\/tex], o limite da soma de todos os seus termos pode ser calculado pela f\u00f3rmula
    \n\\begin{equation}S=\\dfrac{a_{1}}{1-q}\\, .\\end{equation}
    \n ✐ <\/span> Sabemos que um evento [tex]E[\/tex] pode ocorrer ou n\u00e3o. Se o evento [tex]E[\/tex] for relativo a um espa\u00e7o amostral [tex]\\, \\Omega[\/tex], o evento associado \u00e0 n\u00e3o ocorr\u00eancia de [tex]E[\/tex] \u00e9 denominado o complementar de [tex]E[\/tex] com rela\u00e7\u00e3o a [tex]\\, \\Omega[\/tex]<\/strong><\/em> e \u00e9 denotado por [tex]\\overline{E}[\/tex]. <\/p>\n

      \n
    • Logo, [tex]\\overline{E}[\/tex] ocorre se, e somente se, [tex]E[\/tex] n\u00e3o ocorrer.<\/li>\n<\/ul>\n

      \"\" <\/p>\n

      Dessa forma, se [tex]P[\/tex] for a probabilidade de que o evento [tex]E[\/tex] ocorra (sucesso) e [tex]Q[\/tex] for a probabilidade de que [tex]E[\/tex] n\u00e3o ocorra (insucesso), ent\u00e3o [tex]Q[\/tex] \u00e9 a probabilidade do evento complementar [tex]\\overline{E}[\/tex], ou simplesmente probabilidade complementar de [tex]P[\/tex], e temos a seguinte rela\u00e7\u00e3o: [tex]\\boxed{P+Q=1}\\, .[\/tex]<\/p>\n

      \n<\/div>\n

      \n

      \n

      Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

      \nPodemos representar as quatro primeiras etapas poss\u00edveis para o jogo utilizando o diagrama de \u00e1rvore abaixo.<\/p>\n

      <\/p>\n

      \n

        \n[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Vamos, inicialmente, determinar a possibilidade de o jogador ganhar uma partida do jogo. <\/p>\n
          \n
        • Observe pelo diagrama que o jogador n\u00e3o consegue ganhar na primeira, nem na segunda e nem na terceira etapa.<\/li>\n
        • A primeira chance para o jogador ganhar \u00e9 na quarta etapa e existem dois caminhos independentes:\n

          [tex]S \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{B} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G}\\qquad \\boxed{\\text{ou}}\\qquad S \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{D} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G} \\, .[\/tex]<\/p>\n

          A probabilidade de isso acontecer \u00e9:
          \n[tex]\\qquad P_4=\\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right) \\boxed{+} \\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right)\\\\
          \n\\qquad P_4=2 \\times \\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right) \\\\
          \n\\qquad \\boxed{P_4=\\dfrac{1}{3^2}}.[\/tex]<\/li>\n

        • A pr\u00f3xima chance de o jogador vencer \u00e9 na sexta etapa. Para que isso ocorra, temos oito caminhos diferentes:<\/ul>\n

          \n[tex]S \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{B} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{A} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{B} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G}\\quad \\boxed{\\text{ou}}\\quad S \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{B} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{A} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{D} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G}\\quad \\boxed{\\text{ou}}\\\\
          \n S \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{B} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{B} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G}\\quad \\boxed{\\text{ou}} \\quad S \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{B} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{D} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G}\\quad \\boxed{\\text{ou}}\\\\
          \nS \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{D} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{A} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{B} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G}\\quad \\boxed{\\text{ou}}\\quad S \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{D} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{A} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{D} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G}\\quad \\boxed{\\text{ou}}\\\\
          \n S \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{D} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{B} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G}\\quad \\boxed{\\text{ou}}\\quad S \\rightarrow \\textcolor{#3BB9FF}{A} \\rightarrow \\textcolor{red}{D} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{D} \\rightarrow \\textcolor{#893BFF}{C} \\rightarrow \\textcolor{#FF00FF}{G}\\,.[\/tex]<\/p>\n

            Esses caminhos equivalem a, ao chegar na Etapa 4, voltar para a Etapa 2, refazer a Etapa 3 como Etapa 5 e refazer a Etapa 4 como Etapa 6.<\/p>\n

            \"\"<\/p>\n

            Vamos ent\u00e3o calcular a probabilidade de se ganhar a partida na sexta etapa:
            \n[tex]\\;\\begin{align*}P_6=&\\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right) \\boxed{+} \\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right)\\boxed{+}\\\\
            \n &\\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right) \\boxed{+} \\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right) \\boxed{+}\\\\
            \n &\\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right)\\boxed{+} \\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right) \\boxed{+}\\\\
            \n&\\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right) \\boxed{+} \\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right)\\end{align*}\\\\
            \n\\;P_6=8 \\times \\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right) \\\\
            \n\\;\\boxed{P_6=\\dfrac{2}{3^3}}.[\/tex]<\/li>\n

          • A terceira chance de o jogador vencer \u00e9 na oitava etapa. Para que isso ocorra, temos trinta e dois caminhos distintos. Esses caminhos podem ser visualizados no quadro abaixo.<\/li>\n

            \"\"<\/p>\n

            A probabilidade de cada um desses caminhos \u00e9 a mesma; portanto, a probabilidade de o jogador ganhar na oitava etapa pode ser assim calculada:<\/p>\n

            [tex]\\qquad \\left.
            \n \\begin{array} {l}
            \n P_8 &=\\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right) \\boxed{+}\\\\
            \n&\\qquad \\qquad \\vdots\\\\
            \n& \\boxed{+} \\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3} \\times\\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right)\\end{array} \\right\\}{32\\, parcelas}[\/tex]
            \n[tex]\\qquad P_8=32 \\times \\left(1 \\times \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\times \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{3}\\right)\\\\
            \n\\qquad \\boxed{P_8=\\dfrac{2^2}{3^4}}.[\/tex]<\/p>\n

          • Observe que o jogador s\u00f3 pode vencer em etapas pares, a partir da terceira e, de maneira geral, a probabilidade de o jogador vencer na Etapa [tex]2n[\/tex], [tex]n[\/tex] um n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex], \u00e9 dada por: <\/li>\n

            [tex] \\qquad \\boxed{P_{2n}=\\dfrac{2^{n-2}}{3^n}}.[\/tex]<\/ul>\n

            Pelo at\u00e9 aqui exposto, temos que o jogador vencer\u00e1 em uma Etapa par maior do que [tex]3[\/tex], mas n\u00e3o sabemos exatamente em qual Etapa, ou seja, o jogador vencer\u00e1 na Etapa 4 ou<\/strong><\/span> Etapa 6 ou<\/strong><\/span> Etapa 8 ou<\/strong><\/span> Etapa 10 ou<\/strong><\/span> …<\/strong>
            \nDessa forma, a probabilidade de o jogador vencer a partida \u00e9:
            \n[tex] \\qquad P_v=P_4 \\textcolor{red}{+}P_6 \\textcolor{red}{+}P_8 \\textcolor{red}{+}P_{10} \\textcolor{red}{+} \\cdots \\textcolor{red}{+}P_{2n} \\textcolor{red}{+} \\cdots\\\\
            \n\\qquad P_v=\\dfrac{1}{3^2}+\\dfrac{2}{3^3} +\\dfrac{2^2}{3^4} +\\dfrac{2^3}{3^5} + \\cdots +\\dfrac{2^{n-2}}{3^n} + \\cdots\\, .[\/tex]<\/p>\n

            \n

            Para calcular a soma [tex]P_v[\/tex] de infinitas parcelas, observe que [tex]\\left(\\dfrac{1}{3^2},\\dfrac{2}{3^3},\\dfrac{2^2}{3^4} ,\\dfrac{2^3}{3^5} ,\\cdots ,\\dfrac{2^{n-2}}{3^n} ,\\cdots \\quad \\right) [\/tex] \u00e9 uma progress\u00e3o geom\u00e9trica infinita de raz\u00e3o [tex]q=\\dfrac{2}{3}[\/tex] . Portanto, utilizando a f\u00f3rmula do lembrete, temos que:
            \n[tex]\\\\
            \n\\qquad P_v=\\dfrac{1}{3^2}+\\dfrac{2}{3^3} +\\dfrac{2^2}{3^4} +\\dfrac{2^3}{3^5} + \\cdots +\\dfrac{2^{n-2}}{3^n} + \\cdots\\\\
            \n\\qquad P_v=\\dfrac{\\frac{1}{3^2}}{1-\\frac{2}{3}}=\\dfrac{\\frac{1}{9}}{\\frac{1}{3}}\\\\
            \n\\qquad P_v=\\dfrac{1}{9}\\times \\dfrac{3}{1}\\\\
            \n\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P_v=\\dfrac{1}{3}$} .\\\\[\/tex]
            \n[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Vamos agora analisar a probabilidade de o jogador perder uma partida no jogo.
            \nPerceba que a contagem das possibilidades de o jogador perder \u00e9 igual a de ele ganhar, a menos de um detalhe: o jogador pode perder na Etapa 2.
            \nVejamos:<\/p>\n