{"id":136868,"date":"2019-09-26T11:54:16","date_gmt":"2019-09-26T14:54:16","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=136868"},"modified":"2024-06-19T22:54:35","modified_gmt":"2024-06-20T01:54:35","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-somas-de-elementos-de-um-conjunto","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-somas-de-elementos-de-um-conjunto\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Somas de elementos de um conjunto"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220552\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n(<strong>IMTS<\/strong> &#8211; 1992) Um conjunto [tex]A[\/tex] \u00e9 formado por cinco n\u00fameros naturais. Somando os elementos de [tex]A[\/tex] dois a dois obtemos: <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980, 1983, 1984, 1989 [\/tex]  e [tex]1991.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Quais s\u00e3o os elementos do conjunto [tex]A[\/tex]?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p>Suponhamos que o conjunto em quest\u00e3o seja  [tex]A=\\{n_1\\, ,\\, n_2\\, ,\\, n_3\\, ,\\, n_4\\, ,\\, n_5\\}[\/tex].<br \/>\nComo o conjunto [tex]A[\/tex] tem cinco elementos, ent\u00e3o os n\u00fameros inteiros [tex]n_1,n_2,n_3,n_4[\/tex] e [tex]n_5[\/tex] s\u00e3o distintos dois a dois; assim, suponhamos, sem perda de generalidade, que [tex]n_1\\lt n_2\\lt n_3\\lt n_4\\lt n_5\\, .[\/tex]<br \/>\nObserve que as somas  dos elementos de [tex]A[\/tex] aparecem em ordem crescente: <\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]1967\\lt 1972\\lt 1973\\lt  1974\\lt  1975\\lt  1980\\lt  1983\\lt  1984\\lt  1989 \\lt 1991[\/tex],<\/p>\n<p>logo, [tex]1967[\/tex] \u00e9 a soma dos dois menores elementos de [tex]A[\/tex] e [tex]1991[\/tex] \u00e9 a soma dos dois maiores elementos de [tex]A.[\/tex] Com isso, obtemos duas rela\u00e7\u00f5es importantes para a solu\u00e7\u00e3o do problema:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]n_1+ n_2=1967\\, ;\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}\\\\<br \/>\nn_4+ n_5=1991\\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/p>\n<p>Observe, agora, que<br \/>\n[tex] \\qquad \\boxed{\\left(n_1+n_2\\right)+\\left(n_1+n_3\\right)+\\left(n_1+n_4\\right)+\\left(n_1+n_5\\right)+\\\\<br \/>\n+\\left(n_2+n_3\\right)+\\left(n_2+n_4\\right)+\\left(n_2+n_5\\right)+\\\\<br \/>\n+\\left(n_3+n_4\\right)+\\left(n_3+n_5\\right)+\\\\<br \/>\n+\\left(n_4+n_5\\right)=\\\\<br \/>\n=4\\left(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5\\right)}[\/tex]<br \/>\n\u00e9 a soma de todas as somas de elementos de [tex]A[\/tex] dois a dois; portanto, como<br \/>\n[tex]\\quad 1967+1972+1973+1974+1975+1980+1983+\\\\<br \/>\n\\qquad \\, +1984+1989+1991=19788,[\/tex]<br \/>\nsegue das hip\u00f3teses do problema que<br \/>\n[tex]\\qquad 4\\left(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5\\right)=19788[\/tex],<br \/>\nou seja,<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=4947\\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/p>\n<p>Assim, de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(n_1+n_2\\right)+n_3+\\left(n_4+n_5\\right)=4947\\\\<br \/>\n\\qquad 1967+n_3+1991=4947\\\\<br \/>\n\\qquad  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_3=989$}\\, .[\/tex]<br \/>\nPor outro lado, observe que [tex]n_1\\lt n_2[\/tex]; assim, segue que [tex]n_1+n_3\\lt n_2+n_3[\/tex] e, como [tex]1972[\/tex] \u00e9 a segunda menor soma de elementos de [tex]A[\/tex], obtemos mais uma rela\u00e7\u00e3o entre os elementos de [tex]A:[\/tex]<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]n_1+ n_3=1972\\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]<\/p>\n<p>De forma an\u00e1loga, note que [tex]1989[\/tex] \u00e9 a segunda maior soma de elementos de [tex]A[\/tex] e de [tex]n_4\\lt n_5[\/tex] segue que [tex]n_3+n_4\\lt n_3+n_5[\/tex], logo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\">[tex]n_3+ n_5=1989\\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]<\/p>\n<p>Substituindo [tex]n_3=989[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad n_1+ n_3=1972\\\\<br \/>\n\\qquad n_1+ 989=1972\\\\<br \/>\n\\qquad  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_1=983$}\\, .[\/tex]<br \/>\nE substituindo [tex]n_3=989[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex], temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad n_3+ n_5=1989\\\\<br \/>\n\\qquad  989+n_5=1989\\\\<br \/>\n\\qquad  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_5=1000$}\\, .[\/tex]<br \/>\nFinalmente, substituindo [tex]n_1=983[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad n_1+ n_2=1967\\\\<br \/>\n\\qquad 983+n_2=1967\\\\<br \/>\n\\qquad  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_2=984$}[\/tex]<br \/>\ne  substituindo [tex]n_5=1000[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad n_4+ n_5=1991\\\\<br \/>\n\\qquad n_4+1000=1991\\\\<br \/>\n\\qquad  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n_4=991$}\\, .[\/tex]<br \/>\nPortanto, o conjunto [tex]A[\/tex] fica assim definido: [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=\\{983, 984, 989, 991, 1000\\}$}\\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/Clubes_Somas-de-elementos-de-um-conjunto.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Somas de elementos de um conjunto.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) (IMTS &#8211; 1992) Um conjunto [tex]A[\/tex] \u00e9 formado por cinco n\u00fameros naturais. 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