{"id":136166,"date":"2019-09-11T00:46:04","date_gmt":"2019-09-11T03:46:04","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=136166"},"modified":"2024-06-19T22:27:39","modified_gmt":"2024-06-20T01:27:39","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-escolha-de-elementos-em-um-conjunto","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-escolha-de-elementos-em-um-conjunto\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Escolha de elementos em um conjunto"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n(UECE<\/strong>, 2015 – Adaptado)<\/span> Um conjunto A<\/strong> \u00e9 formado por exatamente oito inteiros positivos e oito inteiros negativos.
\nDe quantas maneiras diferentes podemos escolher quatro elementos de A<\/strong>, de modo que:<\/p>\n

(a)<\/strong> o produto dos elementos escolhidos seja um n\u00famero positivo?<\/p>\n

(b)<\/strong> o produto dos elementos escolhidos seja um n\u00famero negativo?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

Lembretes:<\/strong> <\/p>\n

\"explicador_p\"
\n ✏<\/strong> <\/span> Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto \u00e9 escolh\u00ea-los levando-se em considera\u00e7\u00e3o apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos \u00e9 denominado uma Combina\u00e7\u00e3o simples<\/em><\/strong>. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[\/tex] dentre [tex]n[\/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combina\u00e7\u00e3o simples de [tex]n[\/tex] elementos tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex].
\nE o legal \u00e9 que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.<\/p>\n

    \n
  • O n\u00famero de Combina\u00e7\u00f5es simples de [tex]n[\/tex] elementos, tomados [tex]r[\/tex] a [tex]r[\/tex], \u00e9 denotado por [tex]C_{n\\, ,\\, r}[\/tex] ou [tex]C_n^r[\/tex] e assim definido:<\/li>\n<\/ul>\n

    [tex]C_{n\\, ,\\, r}=C_n^r=\\dfrac{n!}{(n-r)!\\, r!} \\text{, com } n,r \\in\\mathbb{N} \\text{ e }\\,0 \\lt r\\leqslant n[\/tex].<\/p>\n

    O quociente [tex]\\dfrac{n!}{(n-r)!\\, r!}[\/tex] tamb\u00e9m pode ser denotado por [tex]\\dbinom{n}{r}[\/tex] e nesse caso \u00e9 denominado coeficiente binomial<\/em><\/strong> ou n\u00famero binomial<\/em><\/strong>.<\/p>\n

    ✏<\/strong> <\/span>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para duas decis\u00f5es<\/strong>: Se<\/p>\n

      \n
    • uma decis\u00e3o D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n
    • uma decis\u00e3o D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<\/ul>\n

      \t e essas duas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a ocorr\u00eancia de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a ocorr\u00eancia da outra), ent\u00e3o a quantidade de maneiras de se tomar ao mesmo tempo essas decis\u00f5es \u00e9 [tex]\\boxed{m_1\\times m_2}\\, .[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

      \n

      Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

      \n

      \n

      (a)<\/strong> Inicialmente, observe que, para o produto dos quatro n\u00fameros escolhidos ser positivo, s\u00f3 existem tr\u00eas possibilidades:<\/p>\n

        \n
      • Os quatro n\u00fameros escolhidos s\u00e3o positivos.<\/li>\n
      • Os quatro n\u00fameros escolhidos s\u00e3o negativos.<\/li>\n
      • Dois n\u00fameros escolhidos s\u00e3o positivos e dois s\u00e3o negativos.<\/li>\n<\/ul>\n

        Vejam os tr\u00eas esqueminhas abaixo e lembrem-se de que a multiplica\u00e7\u00e3o de n\u00fameros inteiros \u00e9 comutativa.<\/p>\n

        [tex] \\mathbf{\\textcolor{blue}{(+)}\\cdot \\textcolor{blue}{(+)}\\cdot \\textcolor{blue}{(+)} \\cdot \\textcolor{blue}{(+)}= \\textcolor{blue}{(+)}}[\/tex]<\/p>\n

        [tex] \\mathbf{\\textcolor{red}{(-)}\\cdot \\textcolor{red}{(-)} \\cdot \\textcolor{red}{(-)} \\cdot \\textcolor{red}{(-)}= \\textcolor{blue}{(+)}}[\/tex]<\/p>\n

        [tex] \\mathbf{\\textcolor{red}{(-)}\\cdot \\textcolor{red}{(-)} \\cdot \\textcolor{blue}{(+)} \\cdot \\textcolor{blue}{(+)}= \\textcolor{blue}{(+)}}[\/tex]<\/p>\n

        A partir dessas informa\u00e7\u00f5es e considerando que a ordem dos n\u00fameros escolhidos n\u00e3o interfere no seu produto, podemos determinar o n\u00famero de escolhas de quatro n\u00fameros do conjunto A<\/strong> cujo produto seja positivo utilizando Combina\u00e7\u00f5es Simples<\/strong> para cada um dos tr\u00eas casos.
        \n►<\/span> Caso 1<\/strong>: No conjunto A<\/strong> temos oito n\u00fameros positivos; assim, a escolha de quatro n\u00fameros positivos entre esses oito poder\u00e1 ser feita de [tex]C_{8,4}[\/tex] modos distintos, em que [tex]C_{8,4}[\/tex] indica uma combina\u00e7\u00e3o dos [tex]8[\/tex] n\u00fameros positivos tomados [tex]4[\/tex] a [tex]4[\/tex]:
        \n[tex]\\qquad C_{8,4}=\\dbinom{8}{4}=\\dfrac{8!}{(8-4)!\\, 4!}=\\dfrac{8!}{4!\\, 4!}=\\dfrac{8\\cdot 7 \\cdot 6 \\cdot 5}{4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1}=\\boxed{\\text{70 modos}}.[\/tex]
        \n►<\/span> Caso 2<\/strong>: No conjunto A<\/strong> temos oito n\u00fameros negativos; logo, a escolha de quatro n\u00fameros negativos entre esses oito poder\u00e1, da mesma forma, ser feita de [tex]C_{8,4}[\/tex] modos distintos, ou seja, de [tex]\\boxed{\\text{70 modos}}.[\/tex]
        \n►<\/span> Caso 3<\/strong>: No conjunto A<\/strong> temos oito n\u00fameros positivos e oito n\u00fameros negativos. Portanto:<\/p>\n