{"id":136157,"date":"2019-09-11T00:31:39","date_gmt":"2019-09-11T03:31:39","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=136157"},"modified":"2024-06-19T22:25:16","modified_gmt":"2024-06-20T01:25:16","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-apertando-parafusos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-apertando-parafusos\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Apertando parafusos"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220522\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio <\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<span style=\"font-size: 12px;\">(<strong>UFSCAR, 2007 <\/strong> &#8211; Adaptado)<\/span> Voc\u00ea j\u00e1 deve ter visto parafusos do tipo sextavado. Esse tipo de parafuso \u00e9 assim denominado pois sua cabe\u00e7a, local onde se encaixa a chave para apert\u00e1-lo ou desapert\u00e1-lo, tem seis lados.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob347.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"108\" height=\"108\" class=\"aligncenter size-full wp-image-129853\" \/><\/p>\n<p>Considere que a chave visualizada \u00e0 direita da figura abaixo se encaixe perfeitamente na cabe\u00e7a do parafuso sextavado mostrado \u00e0 esquerda da figura. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob347_1.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"533\" height=\"134\" class=\"aligncenter size-full wp-image-129854\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob347_1.png 533w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob347_1-300x75.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 533px) 100vw, 533px\" \/><\/p>\n<p><strong>Se a cabe\u00e7a do parafuso \u00e9 um hex\u00e1gono regular cujos lados medem [tex]3\\, [\/tex]cm , calcule as medidas [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] indicadas na figura.<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:40px;line-height:30px; width:87%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"97\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\"style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Lembretes<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span>  A partir do seu centro, um hex\u00e1gono regular pode ser decomposto em seis tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros congruentes cujo comprimento dos lados \u00e9 o comprimento dos lados do pr\u00f3prio hex\u00e1gono.<\/p>\n<p style=\"text-align:center; line-height:20px;font-size:14px; margin:30px\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Decomposi\u00e7\u00e3o do hex\u00e1gono\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/ebw7wevg\/width\/466\/height\/492\/border\/ffffff\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/false\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"500px\" height=\"540px\" style=\"border: 2px solid #0099ff;\"> <\/iframe><br \/>\nOBMEP_srg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\" >GeoGebra<\/a><\/p>\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span><strong>Teorema de Pit\u00e1goras:<\/strong> Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da hipotenusa \u00e9 a soma dos quadrados dos catetos.<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> <strong>Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e  [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].\n<\/div>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>De acordo com o <strong>Lembrete<\/strong>, vamos decompor o hex\u00e1gono regular [tex]ABCDEF[\/tex] que define a cabe\u00e7a do parafuso em seis tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros congruentes cujos  lados medem [tex]3\\, [\/tex]cm, a partir do centro [tex]O.[\/tex] Em particular, vamos dar destaque aos tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros [tex]\\textcolor{#CC66FF}{CDO}[\/tex] e  [tex]\\textcolor{#009900}{BCO}.[\/tex]<br \/>\nComo esses tri\u00e2ngulos s\u00e3o equil\u00e1teros, as respectivas alturas [tex]\\overline{DM}[\/tex] e [tex]\\overline{BM}[\/tex] relativas ao lado comum [tex]\\overline{OC}[\/tex] s\u00e3o tamb\u00e9m medianas; logo, os segmentos [tex]\\overline{OM}[\/tex] e [tex]\\overline{MC}[\/tex] medem [tex]1,5\\, [\/tex]cm cada um.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob347_4.png\" alt=\"\" width=\"700\" height=\"306\" class=\"aligncenter size-full wp-image-135950\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob347_4.png 700w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob347_4-300x131.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 700px) 100vw, 700px\" \/><\/p>\n<p>Dessa forma, observando a figura abaixo  podemos concluir que:<br \/>\n[tex]\\qquad x=AH\\\\<br \/>\n\\qquad x=AB+BH\\\\<br \/>\n\\qquad x=3\\text{ cm}+1,5\\text{ cm}\\\\<br \/>\n\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=4,5 \\text{ cm}$}\\, .[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob347_6.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"341\" height=\"330\" class=\"aligncenter size-full wp-image-135956\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob347_6.png 341w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob347_6-300x290.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 341px) 100vw, 341px\" \/><\/p>\n<p>Para obtermos a medida [tex]y[\/tex] ser\u00e1 necess\u00e1rio determinarmos antes a medida das alturas  [tex]\\overline{DM}[\/tex] e [tex]\\overline{BM}[\/tex]. Para isso, basta aplicarmos o Teorema de Pit\u00e1goras em um dos tri\u00e2ngulos [tex]\\textcolor{#CC66FF}{CDO}[\/tex] ou  [tex]\\textcolor{#009900}{BCO}:[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad h^2+(1,5)^2=3^2\\\\<br \/>\n\\qquad h^2=9-2,25\\\\<br \/>\n\\qquad h^2=6,75\\\\<br \/>\n\\qquad h=\\pm\\sqrt{6,75}.[\/tex]<br \/>\nComo  [tex]h\\gt 0[\/tex], segue que [tex] h=\\sqrt{6,75}\\text{ cm}\\\\[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob347_9.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"700\" height=\"292\" class=\"aligncenter size-full wp-image-135977\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob347_9.png 700w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob347_9-300x125.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 700px) 100vw, 700px\" \/><\/p>\n<p>Observando as figuras acima, podemos concluir que:<br \/>\n[tex]\\qquad y=DB\\\\<br \/>\n\\qquad y=DM+MB\\\\<br \/>\n\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=2\\, \\sqrt{6,75}\\text{ cm}$}\\, .[\/tex]<br \/>\nSe voc\u00ea prefere trabalhar com fra\u00e7\u00f5es, observe que:<br \/>\n[tex]\\qquad h^2+\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^2=3^2\\\\<br \/>\n\\qquad h^2=9-\\dfrac{9}{4}\\\\<br \/>\n\\qquad h^2=\\dfrac{27}{4}\\\\<br \/>\n\\qquad h=\\sqrt{\\dfrac{27}{4}}=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\, ,[\/tex]<br \/>\ndonde<br \/>\n[tex]\\qquad y=DB=2h\\\\<br \/>\n\\qquad y=2\\times\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\\\<br \/>\n\\qquad \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=3\\sqrt{3}\\text{ cm}$}\\, .[\/tex]<br \/>\nDe qualquer modo, [tex]y[\/tex] \u00e9 aproximadamente [tex]5,2\\text{ cm}.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Apertando-parafusos-.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Apertando parafusos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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