Problema (Prova Final da Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica de S\u00e3o Paulo<\/strong>, [tex]1979[\/tex] \u2013 Oitava S\u00e9rie)<\/span> Pe\u00e7a a um amigo que multiplique o dia do seu anivers\u00e1rio por [tex]12[\/tex], o m\u00eas do anivers\u00e1rio por [tex]31[\/tex] e some os dois resultados. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n a)<\/strong> Sejam [tex]d[\/tex] e [tex]m[\/tex], respectivamente, o dia e o m\u00eas do nascimento. Ent\u00e3o, [tex]12d+31m=368[\/tex]. logo, o anivers\u00e1rio do seu primeiro amigo \u00e9 dia [tex]\\boxed{\\text{10 de agosto}}.[\/tex]<\/p>\n \n b)<\/strong> Agora, temos [tex]12d+31m=191[\/tex]. Assim, [tex]m=5[\/tex] e [tex]d=3[\/tex] e, portanto, o anivers\u00e1rio do seu segundo amigo \u00e9 dia [tex]\\boxed{\\text{3 de maio}}.[\/tex]<\/p>\n \n c)<\/strong> Para mostrar que, conhecida uma soma, n\u00e3o h\u00e1 d\u00favidas quanto \u00e0 data a ela associada, devemos mostrar que \u00e9 imposs\u00edvel haver um n\u00famero [tex]N[\/tex] que seja associado a duas datas distintas [tex]d;m[\/tex] e [tex]d’;m'[\/tex]. Faremos isso mostrando que, se uma soma [tex]N[\/tex] decorre de duas datas [tex]d;m[\/tex] e [tex]d’;m'[\/tex], onde [tex]d[\/tex] e [tex]d\u2019[\/tex] s\u00e3o os dias e [tex]m[\/tex] e [tex]m\u2019[\/tex] os meses do nascimento, necessariamente teremos [tex]d=d'[\/tex] e [tex]m=m'[\/tex]. Vamos l\u00e1! Portanto, nunca haver\u00e1 d\u00favida de quando \u00e9 o anivers\u00e1rio.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\na)<\/strong> Suponha que seu amigo seguiu as instru\u00e7\u00f5es e a soma deu [tex]368[\/tex]. Quando \u00e9 o anivers\u00e1rio dele?
\nb)<\/strong> Para um outro amigo a soma deu [tex]191[\/tex]. Quando \u00e9 o anivers\u00e1rio?
\nc)<\/strong> Demonstre que, dada a soma, a data \u00e9 determinada de modo \u00fanico, isto \u00e9, dada a soma, nunca haver\u00e1 d\u00favida de quando \u00e9 o anivers\u00e1rio.<\/p>\n
\n
\nComo [tex]12[\/tex] e [tex]368[\/tex] s\u00e3o divis\u00edveis por [tex]4[\/tex], [tex]m[\/tex] tem que ser divis\u00edvel por [tex]4[\/tex], j\u00e1 que [tex]31[\/tex] \u00e9 primo, al\u00e9m de ser menor que [tex]12[\/tex]. Assim, os \u00fanicos valores poss\u00edveis para [tex]m[\/tex] s\u00e3o [tex]4[\/tex] ou [tex]8[\/tex]. Vamos analis\u00e1-los:<\/p>\n\n
\nObserve que [tex]m \\le 6[\/tex] e [tex]191-31m[\/tex] deve ser divis\u00edvel por [tex]12[\/tex]. Testando os valores de [tex]m[\/tex] temos:<\/p>\n\n
\nSeja, ent\u00e3o, [tex]N[\/tex] a soma associada \u00e0s datas [tex]d;m[\/tex] e [tex]d’;m'[\/tex]; com isso:
\n[tex]\\qquad \\qquad N=12d+31m; \\qquad \\textcolor{#800000}{(I)}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad N=12d\u2019+31m\u2019 \\qquad \\textcolor{#800000}{(II)}.[\/tex]
\nMostremos que [tex]d=d'[\/tex] e [tex]m=m'[\/tex].<\/p>\n\nSubtraindo a igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(II)}[\/tex] da igualdade[tex]\\textcolor{#800000}{(I)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\qquad 0=12(d-d\u2019)+31(m-m\u2019)\\\\
\n\\qquad \\qquad 31(m-m\u2019)=12(d\u2019-d).\\qquad \\textcolor{#800000}{(III)}[\/tex]
\nObserve que [tex]d\u2019-d[\/tex] e [tex]m-m\u2019[\/tex] s\u00e3o inteiros; desse modo, de [tex]\\textcolor{#800000}{(III)}[\/tex], conclu\u00edmos que [tex]12(d\u2019-d)[\/tex] deve ser divis\u00edvel por [tex]31[\/tex], que \u00e9 um n\u00famero primo. Da\u00ed, segue que [tex]d’-d[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]31[\/tex]; por\u00e9m, veja que [tex]d\u2019-d[\/tex] n\u00e3o \u00e9 maior que [tex]30[\/tex]. Com isso, [tex]d\u2019-d=0[\/tex], isto \u00e9, [tex]\\boxed{d=d\u2019}.[\/tex]
\nMas, sendo [tex]d\u2019-d=0[\/tex], de [tex]\\textcolor{#800000}{(III)}[\/tex] segue que [tex]m-m\u2019=0[\/tex], o que implica [tex]\\boxed{m=m\u2019}.[\/tex] <\/ul>\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
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