Problema \n Determine todas as solu\u00e7\u00f5es reais da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{(x^2+x+4)^2+8x^3+8x^2+32x+15x^2=0} \\, .[\/tex]<\/p>\n \n<\/div>\n \n Lembretes<\/p>\n \n (1)<\/strong> <\/span>Fatora\u00e7\u00e3o do Trin\u00f4mio Quadrado Perfeito:<\/strong> \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n Vamos reescrever a equa\u00e7\u00e3o em quest\u00e3o colocando o fator [tex]8x[\/tex] em evid\u00eancia e substituindo [tex]15x^2[\/tex] por [tex]16x^2-x^2.[\/tex] Com isso, temos que: [tex]x^2+x+4+4x=x \\quad[\/tex] ou [tex]\\quad x^2+x+4+4x=-x.[\/tex]<\/p>\n Vamos analisar cada uma delas.<\/p>\n Portanto, a equa\u00e7\u00e3o [tex](x^2+x+4)^2+8x^3+8x^2+32x+15x^2=0[\/tex] tem tr\u00eas solu\u00e7\u00f5es: <\/p>\n [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_1=2$} \\, \\, [\/tex]; [tex] \\, \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_2=-3+\\sqrt{5}$} \\, \\, [\/tex]; [tex] \\, \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_3=-3-\\sqrt{5}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.[\/tex]
\n (2)<\/strong> <\/span> Se [tex]a, b \\in \\mathbb{R}[\/tex] e [tex]a^2=b^2[\/tex], ent\u00e3o [tex]a=b[\/tex] ou [tex]a=-b.[\/tex]<\/p>\n
\n
\n[tex]\\qquad (x^2+x+4)^2+8x^3+8x^2+32x+15x^2=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad (x^2+x+4)^2+8x(x^2+x+4)+16x^2-x^2=0 [\/tex]
\n[tex]\\qquad (x^2+x+4)^2+8x(x^2+x+4)+16x^2=x^2. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nRepare que h\u00e1 um Trin\u00f4mio Quadrado Perfeito do lado esquerdo da \u00faltima igualdade; assim, podemos utilizar o Lembrete 1<\/strong> e obter que:
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}&(x^2+x+4)^2+8x(x^2+x+4)+16x^2 \\\\
\n&=(x^2+x+4)^2+2 \\cdot(x^2+x+4) \\cdot (4x)+(4x)^2\\\\
\n&=(x^2+x+4+4x)^2. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}\\end{align*}[\/tex]
\nDe [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], temos que:
\n[tex]\\qquad (x^2+x+4+4x)^2=x^2.[\/tex]
\nA partir dessa \u00faltima igualdade, pelo Lembrete 2<\/strong>, temos duas possibilidades:<\/p>\n\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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