Problema \n Em um c\u00edrculo de \u00e1rea [tex]9 \\;cm^2[\/tex] , tra\u00e7am-se duas cordas [tex]AB[\/tex] e [tex]AC[\/tex], tais que: \n<\/div>\n \n AJUDA<\/p>\n \n (1)<\/strong> <\/span> Se duas retas paralelas s\u00e3o intersectadas por uma transversal, ent\u00e3o os pares de \u00e2ngulos alternos internos que essa transversal define s\u00e3o congruentes. (Precisa relembrar estes conceitos? D\u00ea uma passadinha nesta Sala<\/strong><\/a>.)<\/span> \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n Inicialmente, perceba que a \u00e1rea desejada \u00e9 a soma da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] com a \u00e1rea do segmento circular delimitado pela corda [tex]BC[\/tex] e pelo arco [tex]BC[\/tex]. Como [tex]\\stackrel{\\frown}{AB}=70^\\circ[\/tex], pela defini\u00e7\u00e3o de \u00e2ngulo inscrito, conclu\u00edmos que [tex]B\\widehat C A=35^\\circ[\/tex]. Com isso, temos que [tex]C\\widehat A D=35^\\circ[\/tex], j\u00e1 que as retas s\u00e3o paralelas e os \u00e2ngulos representam um par de \u00e2ngulos alternos internos.<\/p>\n Do exposto acima e utilizando novamente a defini\u00e7\u00e3o de \u00e2ngulo inscrito, obtemos que [tex]\\stackrel{\\frown}{CD}=70^\\circ[\/tex]. Do enunciado, temos que [tex]B\\hat A C=20^\\circ[\/tex], logo [tex]\\stackrel{\\frown}{BC}=40^\\circ[\/tex]. Dessa forma, [tex]\\stackrel{\\frown}{AD}=180^\\circ[\/tex] e, portanto, a reta [tex]AD[\/tex] passa pelo centro [tex]O[\/tex] do c\u00edrculo.<\/p>\n Construindo o tri\u00e2ngulo [tex]OBC[\/tex] e utilizando a defini\u00e7\u00e3o de \u00e2ngulo central, temos que [tex]B\\hat O C=40^\\circ[\/tex].<\/p>\n Agora, note que os tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]OBC[\/tex] possuem a mesma \u00e1rea, pois ambos t\u00eam o segmento [tex]BC[\/tex] como base e a dist\u00e2ncia entre as retas paralelas como altura. Com isso, a \u00e1rea desejada \u00e9 a soma da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]OBC[\/tex] com o segmento circular delimitado pelo arco [tex]BC[\/tex] e a corda [tex]BC[\/tex], ou seja, a \u00e1rea desejada \u00e9 a \u00e1rea do setor circular [tex]OBC[\/tex].<\/p>\n Por fim, a \u00e1rea do setor circular \u00e9 dada por Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nI) O arco [tex]AB[\/tex] mede [tex]70^\\circ[\/tex] ([tex]\\stackrel{\\frown}{AB}=70^\\circ[\/tex]);
\nII) O \u00e2ngulo [tex]BAC[\/tex] mede [tex]20^\\circ[\/tex] ([tex]B\\widehat A C=20^\\circ[\/tex]).
\nCalcule a medida da \u00e1rea cinza da figura.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/C\u00edrculo-281x300.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n (2)<\/strong> <\/span> Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra ou n\u00e3o sabe o que \u00e9 um \u00e2ngulo central, o que \u00e9 um \u00e2ngulo inscrito e como obter suas medidas, clique AQUI<\/a><\/strong>.
\n (3)<\/strong> <\/span> Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra ou n\u00e3o sabe o que \u00e9 um setor circular e o que \u00e9 um segmento circular, clique AQUI<\/a><\/strong>.
\nNota\u00e7\u00f5es:<\/strong> <\/span>
\n– Denotaremos o comprimento do arco definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\stackrel{\\frown} {XY}. [\/tex]
\n– Denotaremos a medida do \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]X\\widehat{V}Y. [\/tex] <\/p>\n
\n
\nAgora, vamos construir a reta [tex]BC[\/tex] e tamb\u00e9m a reta [tex]AD[\/tex], paralela \u00e0 reta [tex]BC[\/tex] e que passa por [tex]A[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/C\u00edrculo-S1.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/C\u00edrculo-S2.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/C\u00edrculo-S3.png\")
<\/p>\n![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/C\u00edrculo-S4.png\"a)
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/C\u00edrculo-S5.png\"a)
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\qquad A=\\dfrac{40^\\circ}{360^\\circ} \\cdot 9 = 1 \\;cm^2[\/tex]
\ne, portanto, a medida da \u00e1rea cinza da figura apresentada no problema \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ 1 \\;cm^2$}.[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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