{"id":13416,"date":"2014-02-01T17:10:45","date_gmt":"2014-02-01T19:10:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=13416"},"modified":"2023-01-18T23:22:42","modified_gmt":"2023-01-19T02:22:42","slug":"problema-olimpico-nivel-b-uma-divisao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-olimpico-nivel-b-uma-divisao\/","title":{"rendered":".Problema Ol\u00edmpico &#8211; N\u00edvel B: Uma divis\u00e3o"},"content":{"rendered":"<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 10px; text-align: justify; padding-left: 12px; font-family: verdana; color: #616161; font-size: 15px; line-height: 25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Problema<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\nNa divis\u00e3o indicada na figura abaixo, as letras [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] representam algarismos diferentes.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/02\/fig11.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"fig1\" width=\"264\" height=\"144\" class=\"aligncenter size-full wp-image-13418\"\/><\/p>\n<p>Determine [tex]A+B+C+D[\/tex].<br \/>\n<strong>Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Letras iguais representam algarismos iguais.\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px solid #800000; padding: 10px; text-align: justify; padding-left: 12px; font-family: verdana; color: #616161; font-size: 15px; line-height: 25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Observa\u00e7\u00e3o importante<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-1001 alignleft\" style=\"border: 0px;\" alt=\"explicador_p\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"70\" height=\"82\" \/><\/p>\n<p>Nas solu\u00e7\u00f5es abaixo, [tex]BCD[\/tex] n\u00e3o significa  [tex]B \\times C \\times D[\/tex] e sim a nota\u00e7\u00e3o decimal do n\u00famero [tex]n=BCD[\/tex], ou seja, [tex]n=B\\times 10^2+C\\times 10+D[\/tex], como, por exemplo,  em [tex]247=2\\times 10^2+4\\times 10+7[\/tex].<br \/>\nPara entender melhor essa forma de representar n\u00fameros naturais, assista ao <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/video-p1\/\" title=\"Assista ao v\u00eddeo\" target=\"_blank\" rel=\"nofollow\"><u><span style=\"color: #FF8C00;\"><strong>V\u00eddeo 1 do PIC<\/strong><\/u><\/a><\/span>.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 10px; text-align: justify; padding-left: 12px; font-family: verdana; color: #616161; font-size: 15px; line-height: 25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o 1<\/strong><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/02\/fig11.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"fig1\" width=\"264\" height=\"144\" class=\"aligncenter size-full wp-image-13418\" \/><\/p>\n<p>Observemos que:<\/p>\n<ul>\n<li>Da primeira divis\u00e3o, temos que [tex]B\\times C \\, D=C \\, D[\/tex], o que nos leva a concluir que [tex]\\boxed{B=1}[\/tex].<\/li>\n<li>Da segunda divis\u00e3o, temos que [tex]C\\times C \\, D=D \\, N[\/tex].<\/li>\n<li>Da terceira divis\u00e3o, [tex]D\\times C \\, D=B \\, C \\, D[\/tex] e, portanto, [tex]D^2=\\square  \\, D[\/tex], com [tex]\\square[\/tex] representando o algarismo das dezenas de [tex]D^2[\/tex].<br \/>\nLogo, temos duas possibilidades: [tex]D=5[\/tex] ou [tex]D=6[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Como [tex]B\\ne C[\/tex], vamos, por tentativa, considerar [tex]C=2[\/tex] e vejamos o que obtemos do produto [tex]D\\times C \\, D=B \\, C \\, D[\/tex], considerando [tex]D=5[\/tex] ou [tex]D=6[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\bullet \\quad  5\\times 25=125[\/tex], o que \u00e9 v\u00e1lido, uma vez que [tex]B=1[\/tex] e [tex]C=2[\/tex], como estamos considerando;<br \/>\n[tex]\\bullet \\quad  6\\times 26=156[\/tex], o que n\u00e3o \u00e9 v\u00e1lido, uma vez que [tex]C \\ne 5[\/tex].<br \/>\n&nbsp;<br \/>\nVejamos agora o que acontece, se considerarmos [tex]C=3[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\bullet \\quad  5\\times 35=175[\/tex], o que n\u00e3o \u00e9 v\u00e1lido, uma vez que [tex]C\\ne 7[\/tex], como estamos considerando;<br \/>\n[tex]\\bullet \\quad  6\\times 36=216[\/tex], o que n\u00e3o \u00e9 v\u00e1lido, uma vez que [tex]B\\ne 2[\/tex] e [tex]C \\ne 1[\/tex].<br \/>\n&nbsp;<br \/>\nObserve que se considerarmos [tex]C\\ge4[\/tex], o produto  [tex]C\\times C \\, D[\/tex] n\u00e3o gerar\u00e1 dois d\u00edgitos, como indica a igualdade  [tex]C\\times C \\, D=D \\, N[\/tex].<br \/>\nAssim temos que [tex]\\boxed{D=5}[\/tex] e [tex]\\boxed{C=2}[\/tex].<br \/>\nPor fim, para encontrar o valor de [tex]A[\/tex], observemos que [tex]C \\, D\\times B \\, C \\, D=A \\, B \\, C \\, D[\/tex]. Logo, substituindo os valores encontrados para [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] e efetuando a multiplica\u00e7\u00e3o  [tex]C \\, D\\times B \\, C \\, D[\/tex] obtemos:<br \/>\n[tex] \\quad  \\quad 125 \\\\  \\quad  \\times  \\,  \\, 25 \\quad  \\\\ \\quad \\overline{  \\quad  3125 \\quad }[\/tex]<br \/>\n&nbsp;<br \/>\nPortanto, [tex]\\boxed{A=3}[\/tex] e [tex]A+B+C+D=3+1+2+5=\\boxed{\\boxed{11}}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP <strong>Giovani Heinzen Vicentin<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div style=\"border: 3px  solid  #800000; padding: 10px; text-align: justify; padding-left: 12px; font-family: verdana; color: #616161; font-size: 15px; line-height: 30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"><strong>Solu\u00e7\u00e3o 2<\/strong><\/p>\n<hr>\n<\/hr>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/02\/fig11.png\" style=\"border: 0px;\" alt=\"fig1\" width=\"264\" height=\"144\" class=\"aligncenter size-full wp-image-13418\" \/><\/p>\n<p>&#9830; De [tex]B\\times CD=CD[\/tex] (primeira multiplica\u00e7\u00e3o),  segue que [tex]\\fcolorbox{black}{DarkSalmon}{B=1} \\, [\/tex], j\u00e1 que [tex]CD=0[\/tex] n\u00e3o conv\u00e9m, pois n\u00e3o existe divis\u00e3o por zero.<br \/>\n&#9830; Analisemos a \u00faltima multiplica\u00e7\u00e3o.<br \/>\nPodemos reescrever [tex]D\\times CD=BCD[\/tex] como [tex]D\\times CD=100\\times B+CD[\/tex], donde<br \/>\n[tex]\\qquad (D\\times CD)-(1\\times CD)=100\\times B[\/tex],<br \/>\n ou ainda,<br \/>\n[tex]\\qquad CD\\times (D-1)=100\\times B[\/tex].<br \/>\nComo [tex]B=1[\/tex],  ent\u00e3o [tex]CD\\times (D-1)=100[\/tex] e, portanto, o n\u00famero [tex]CD[\/tex] \u00e9 um divisor positivo de [tex]100[\/tex].<br \/>\nObserve que o n\u00famero [tex]CD[\/tex] tem dois d\u00edgitos; logo temos as seguintes possibilidades: [tex]\\fbox{CD=10}[\/tex];  [tex]\\fbox{CD=20}[\/tex],  [tex]\\fbox{CD=25}[\/tex];  [tex]\\fbox{CD=50}[\/tex].<br \/>\nMas se [tex]D=0[\/tex], de  [tex]CD\\times (D-1)=100[\/tex], ter\u00edamos que  [tex]CD=-100[\/tex]. Assim, necessariamente, [tex]CD=25[\/tex] e, dessa forma, [tex]\\fcolorbox{black}{PaleGoldenrod}{C=2} \\, [\/tex] e  [tex]~\\fcolorbox{black}{#FFBBFF}{D=5} \\, [\/tex].<br \/>\n&#9830; Finalmente, observe que a divis\u00e3o \u00e9 exata; logo [tex]BCD\\times CD=ABDC[\/tex].<br \/>\nAssim [tex]ABCD=125\\times 25=3125[\/tex], donde [tex]\\fcolorbox{black}{#BBFFFF}{A=3} \\, [\/tex].<br \/>\nPelo exposto, [tex]ABCD=3125[\/tex] e [tex]\\fbox{A+B+C+D=3+1+2+5=11} \\, [\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema Na divis\u00e3o indicada na figura abaixo, as letras [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex] representam algarismos diferentes. Determine [tex]A+B+C+D[\/tex]. Observa\u00e7\u00e3o: Letras iguais representam algarismos iguais. &nbsp; Observa\u00e7\u00e3o importante Nas solu\u00e7\u00f5es abaixo, [tex]BCD[\/tex] n\u00e3o significa [tex]B \\times C \\times D[\/tex] e sim a nota\u00e7\u00e3o decimal do n\u00famero [tex]n=BCD[\/tex], ou seja, [tex]n=B\\times 10^2+C\\times 10+D[\/tex], como, por exemplo, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-olimpico-nivel-b-uma-divisao\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-13416","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/13416","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=13416"}],"version-history":[{"count":122,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/13416\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":182979,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/13416\/revisions\/182979"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=13416"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}