{"id":133806,"date":"2019-07-31T14:34:31","date_gmt":"2019-07-31T17:34:31","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=133806"},"modified":"2023-06-02T19:35:19","modified_gmt":"2023-06-02T22:35:19","slug":"problemao-qual-o-valor-maximo-de-m","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-qual-o-valor-maximo-de-m\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Qual o valor m\u00e1ximo de M?"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n

Sendo [tex] n [\/tex] um n\u00famero real qualquer e [tex]\\boxed{ M = \\dfrac {9}{ 2 \\cdot \\sqrt[3] { \\dfrac { n^2}{12} + \\dfrac { 82 – n }{3} } }}[\/tex], determine o valor m\u00e1ximo que [tex] M [\/tex] poder\u00e1 assumir.<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

[tex]{\\color{#800000}(1)}[\/tex] O gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica [tex]h:\\mathbb{R}\\rightarrow \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]h(x)=ax^2+bx+c,\\, a\\not=0[\/tex], \u00e9 uma par\u00e1bola com diretriz paralela ao eixo [tex]Ox[\/tex], eixo de simetria paralelo ao eixo [tex]Oy[\/tex], sendo sua concavidade voltada para cima se [tex]a\\gt 0[\/tex] e voltada para baixo se [tex]a\\lt0[\/tex]. <\/p>\n

\n

[tex]{\\color{#800000}(2)}[\/tex] Se [tex]\\Delta= b^2-4ac[\/tex], as coordenadas do v\u00e9rtice da par\u00e1bola do gr\u00e1fico de [tex]h[\/tex] s\u00e3o dadas por:
\n [tex]\\qquad \\qquad (x_v,y_v)=\\bigg(\\dfrac{-b}{2a},\\dfrac{-\\Delta}{4a}\\bigg)[\/tex],
\nsendo que [tex]x_v=\\dfrac{-b}{2a}\\, [\/tex] e [tex]\\, y_v=\\dfrac{-\\Delta}{4a}[\/tex] indicam, respectivamente:<\/p>\n

✓<\/span> o ponto de m\u00ednimo e o valor m\u00ednimo da fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex], se a concavidade estiver voltada para cima;
\n ✓<\/span> o ponto de m\u00e1ximo e o valor m\u00e1ximo da fun\u00e7\u00e3o [tex]h[\/tex], se a concavidade estiver voltada para baixo.<\/p>\n

Particularmente, se [tex]\\Delta \\gt 0[\/tex], [tex]x_v[\/tex] \u00e9 a m\u00e9dia entre as duas ra\u00edzes de [tex]h[\/tex]: [tex]x_v=\\dfrac{r_1+r_2}{2}[\/tex]<\/p>\n

\nVisualizem as informa\u00e7\u00f5es fornecidas no lembrete [tex]{\\color{#800000}(2)}[\/tex], se [tex]\\Delta \\gt 0[\/tex],
\nclicando no bot\u00e3o abaixo.<\/strong><\/p>\n

<\/p>\n
\n
\n\"\"\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

Sejam [tex]n[\/tex] um n\u00famero real e [tex]M= \\dfrac{9}{2 \\cdot \\sqrt[3] {\\dfrac{ n^2}{12}+\\dfrac{82-n}{3}}}.[\/tex]
\nPara determinar o valor m\u00e1ximo que [tex]M[\/tex] assume, vamos analisar inicialmente o seu denominador.
\nPara isso, seja [tex] y =\\dfrac{ n^2}{12}+ \\dfrac {82-n}{3} [\/tex] e note que podemos reescrever [tex]y[\/tex] na seguinte forma:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad y=\\dfrac {n^2}{12}-\\dfrac {4n}{12}+\\dfrac {328}{12}= \\boxed{\\dfrac{n^2-4n+328}{12}}\\, . [\/tex]
\nObserve que o discriminante [tex]\\Delta[\/tex] da equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]n^2-4n+328=0\\, [\/tex] \u00e9 dado por [tex]\\, \\Delta=(-4)^2-4\\cdot 1\\cdot 328=-1296[\/tex]. Como [tex]\\Delta \\lt 0[\/tex], a equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o possui raiz real e, sendo o coeficiente de [tex]n^2[\/tex] positivo, conclui-se que [tex]\\, n^2-4n+328\\gt0[\/tex] para todo [tex]n\\in\\mathbb{R}.[\/tex]
\nDessa forma, temos que [tex]\\fcolorbox{#800000}{#ffffff}{$ \\, y\\gt 0 \\text{ para todo } n\\in\\mathbb{R}\\, $}\\, [\/tex], o que nos garante que [tex]\\fcolorbox{#800000}{#ffffff}{$ \\text{o denominador de } M \\, \\acute{e} \\text{ positivo para todo } n\\in\\mathbb{R}\\, $}\\, .[\/tex]<\/p>\n