\n
Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n(CFTMG<\/strong> – 2017) Para executar uma reforma em uma loja, foram contratados [tex]n[\/tex] oper\u00e1rios.
\nO mestre de obras argumentou que
\n– \u201cpara entregar a obra [tex]2[\/tex] dias antes do prazo previsto, seria necess\u00e1rio contratar mais [tex]3[\/tex] oper\u00e1rios; se, entretanto, [tex]2[\/tex] oper\u00e1rios fossem dispensados, a obra atrasaria em [tex]2[\/tex] dias\u201d.
\nConsiderando que os oper\u00e1rios trabalhem da mesma forma e no mesmo ritmo, qual o n\u00famero [tex]n[\/tex] de oper\u00e1rios contratados?<\/strong><\/p>\n\n<\/div>\n
\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n
\n
Perceba que as grandezas "n\u00famero de oper\u00e1rios" e "n\u00famero de dias " s\u00e3o grandezas inversamente proporcionais, ou seja, se o n\u00famero de oper\u00e1rios aumentar (diminuir) o n\u00famero de dias para a execu\u00e7\u00e3o da obra diminuir\u00e1 (aumentar\u00e1), na mesma raz\u00e3o. Assim, o produto entre os valores das mesmas \u00e9 constante. <\/p>\n
\n- Dessa forma, se [tex]n[\/tex] oper\u00e1rios trabalham em [tex]d[\/tex] dias, ent\u00e3o [tex]n \\cdot d=k[\/tex], sendo [tex]k[\/tex] a constante de proporcionalidade. <\/li>\n
- De forma an\u00e1loga, se [tex]n+3[\/tex] oper\u00e1rios trabalham em [tex]d-2[\/tex] dias, ent\u00e3o [tex](n+3) \\cdot (d-2)=k[\/tex], e se [tex]n-2[\/tex] oper\u00e1rios trabalham em [tex]d+2[\/tex] dias, ent\u00e3o [tex](n-2) \\cdot (d+2)=k[\/tex], onde [tex]k[\/tex] \u00e9 constante.<\/li>\n<\/ul>\n
Logo, podemos escrever:<\/p>\n
[tex]\\begin{cases}
\nn \\cdot d=(n+3) \\cdot (d-2)\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(I)} \\\\
\nn \\cdot d=(n-2) \\cdot (d+2)\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(II)} \\\\
\n\\end{cases}[\/tex]<\/p>\n
De [tex]\\textcolor{#800000}{(I)}[\/tex], obtemos que: <\/p>\n
[tex]n \\cdot d=(n+3) \\cdot (d-2)[\/tex]
\n[tex]nd=nd-2n+3d-6[\/tex]
\n[tex]-2n+3d=6\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(III)}[\/tex]<\/p>\n
De [tex]\\textcolor{#800000}{(II)}[\/tex], obtemos que: <\/p>\n
[tex]n \\cdot d=(n-2) \\cdot (d+2)[\/tex]
\n[tex]nd=nd+2n-2d-4[\/tex]
\n[tex]2n-2d=4\t\t\\qquad \\textcolor{#800000}{(IV)} [\/tex]<\/p>\n
Somando as igualdades [tex]\\textcolor{#800000}{(III)} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\textcolor{#800000}{(IV)}[\/tex], obtemos [tex]d=10.[\/tex] Substituindo esse valor em [tex]\\textcolor{#800000}{(IV)}[\/tex], encontramos [tex]2n-2 \\cdot 10=4 [\/tex], donde conclu\u00edmos que [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ n=12$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n
\nEste \u00e9 um t\u00edpico problema que envolve grandezas ditas
inversamente proporcionais<\/em><\/strong>, j\u00e1 que o aumento (a diminui\u00e7\u00e3o) de uma implica a diminui\u00e7\u00e3o (o aumento) da outra, na mesma propor\u00e7\u00e3o\/raz\u00e3o: aumentando (diminuindo) a quantidade de oper\u00e1rios, diminuir\u00e1 (aumentar\u00e1) o n\u00famero de dias para que a obra seja conclu\u00edda, na mesma propor\u00e7\u00e3o.
\nDe outra forma, com mais oper\u00e1rios trabalhando a obra ficar\u00e1 pronta em menos tempo e com menos oper\u00e1rios trabalhando a obra levar\u00e1 mais tempo para ser conclu\u00edda:<\/p>\n\n- se, por exemplo, for dobrada a quantidade de oper\u00e1rios, o tempo de conclus\u00e3o da obra ser\u00e1 reduzido pela metade; se for triplicada a quantidade de oper\u00e1rios, o tempo de conclus\u00e3o da obra ser\u00e1 reduzido para um ter\u00e7o;<\/li>\n
- para a obra ser conclu\u00edda na metade do tempo previsto, o n\u00famero de oper\u00e1rios dever\u00e1 ser dobrado; para a obra ser conclu\u00edda em um quarto do tempo previsto, o n\u00famero de oper\u00e1rios dever\u00e1 ser quadruplicado. <\/li>\n<\/ul>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/operarios_1.png\")
<\/p>\n
\n
\nSe denotarmos por [tex]d[\/tex] a quantidade de dias em que [tex]n[\/tex] oper\u00e1rios concluir\u00e3o a obra, podemos representar os dados do problema em duas tabelas e obter equa\u00e7\u00f5es que ajudar\u00e3o na resolu\u00e7\u00e3o do problema, utilizando duas regras de tr\u00eas simples. Vejamos como:<\/p>\n
\n
\n\n\n\n\n Dias<\/strong><\/td>\n Oper\u00e1rios<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n\n| [tex]d[\/tex] <\/td>\n | [tex]n[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]d-2[\/tex]<\/td>\n | [tex]n+3[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n \n Como essas duas grandezas s\u00e3o inversamente proporcionais, a regra de tr\u00eas simples<\/p>\n \n\n| [tex]d[\/tex] <\/td>\n | —————————-<\/td>\n | [tex]n+3[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]d-2[\/tex]<\/td>\n | —————————-<\/td>\n | [tex]n[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n garante que
\n[tex]\\qquad d\\cdot n=(d-2) \\cdot (n+3)[\/tex],
\nou seja,
\n[tex]\\qquad dn=dn+3d-2n-6[\/tex]
\n[tex]\\qquad 3d-2n=6. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]\n<\/td>\n | \n\n\n Oper\u00e1rios<\/strong><\/td>\n Dias<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n\n| [tex]n[\/tex] <\/td>\n | [tex]d[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]n-2[\/tex]<\/td>\n | [tex]d+2[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n \n Como essas duas grandezas s\u00e3o inversamente proporcionais, a regra de tr\u00eas simples<\/p>\n \n\n| [tex]n[\/tex] <\/td>\n | —————————-<\/td>\n | [tex]d+2[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n | \n| [tex]n-2[\/tex]<\/td>\n | —————————-<\/td>\n | [tex]d[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n garante que
\n[tex]\\qquad d \\cdot n=(d+2) \\cdot (n-2)[\/tex]
\nou seja,
\n[tex]\\qquad dn=dn-2d+2n-4[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2n-2d=4. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n Agora, somando as equa\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad + [\/tex] [tex]\\begin{array}{l}
\n3d-\\cancel{2n}=6\\\\
\n\\cancel{2n}-2d=4\\\\
\n\\hline
\nd=10.\\end{array}[\/tex]
\nUtilizando esse valor e a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], obtemos que:
\n[tex]\\qquad 2n-2d=4[\/tex]
\n[tex]\\qquad n-d=2[\/tex]
\n[tex]\\qquad n=2+d[\/tex]
\n[tex]\\qquad n=2+10[\/tex]
\n[tex]\\qquad n=12.[\/tex]<\/p>\n Dessa forma, conclu\u00edmos que o n\u00famero [tex]n[\/tex] de oper\u00e1rios contratados foi [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ n=12$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
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