\n
Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n
\n
\nVamos resolver o problema utilizando ferramentas matem\u00e1ticas nada complicadas. Ele foi colocado como um desafio, pois envolve um tipo de racioc\u00ednio n\u00e3o muito comum.
\nEste \u00e9 um daqueles problemas que, depois de resolvido, n\u00e3o \u00e9 nada dif\u00edcil entendermos a sua solu\u00e7\u00e3o. Na verdade, este \u00e9 um t\u00edpico problema ol\u00edmpico. Vamos l\u00e1, tentaremos fazer uma solu\u00e7\u00e3o bem explicadinha…\n<\/p>\n
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<\/p>\n
Sejam [tex]a,b,c,d,e\\, [\/tex] e [tex]\\, f[\/tex] os comprimentos dos lados do hex\u00e1gono em quest\u00e3o.
\nCom isso,
\n[tex]\\qquad \\qquad a+b+c+d+e+f=1+2+3+4+5+6=21.[\/tex]
\nComo esse hex\u00e1gono tem todos os \u00e2ngulos internos com a mesma medida, ele n\u00e3o pode ser c\u00f4ncavo. Sendo convexo, a soma dos \u00e2ngulos internos desse hex\u00e1gono \u00e9
\n[tex]\\qquad \\qquad S_{i_6}=\\left(6-2\\right)\\cdot 180^\\circ= 720^\\circ[\/tex]
\ne, portanto, cada um de seus \u00e2ngulos internos mede [tex]\\dfrac{720^\\circ}{6}=120^\\circ\\, [\/tex], conforme ilustra a figura ao lado.
\nDessa forma, podemos prolongar os lados desse hex\u00e1gono e formar um grande tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero! (Este \u00e9 o "pulo do gato"!)<\/span><\/p>\n\n- Com efeito, como os \u00e2ngulos internos medem todos [tex]120^\\circ\\, [\/tex], ent\u00e3o seus respectivos suplementos medem [tex]60^\\circ\\, [\/tex] e, portanto, definem tr\u00eas tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros pequenos. Isso faz com que o tri\u00e2ngulo externo seja tamb\u00e9m equil\u00e1tero, pois ter\u00e1 tr\u00eas \u00e2ngulos de [tex]60^\\circ\\, [\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
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<\/p>\n
Seja, ent\u00e3o, [tex]l[\/tex] o comprimento de cada lado do tri\u00e2ngulo externo que constru\u00edmos. Assim, [tex]l = a + b + c = c + d + e = e + f + a[\/tex] e, portanto:
\n[tex]\\qquad (a + b + c)+(c + d + e)+( e + f + a)=3l[\/tex]
\n[tex]\\qquad (a + b + c+ d + e + f)+(a+c+e)=3l[\/tex]
\n[tex]\\qquad 21+(a+c+e)=3l[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{l=7+\\dfrac{a+c+e}{3}}. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nComo os lados do hex\u00e1gono medem [tex]1,2,3,4,5[\/tex] e [tex]6[\/tex] cent\u00edmetros, o menor valor que a soma [tex]a+c+e[\/tex] pode assumir \u00e9 [tex]1+2+3=6[\/tex] e o maior \u00e9 [tex]4+5+6=15[\/tex]. Logo, temos que:
\n [tex]\\qquad 2 \\leqslant \\dfrac{a+c+e}{3} \\leqslant 5[\/tex]
\n [tex]\\qquad 7+ 2 \\leqslant 7+\\dfrac{a+c+e}{3} \\leqslant 7+5[\/tex]
\n [tex]\\qquad 9 \\leqslant 7+\\dfrac{a+c+e}{3} \\leqslant 12[\/tex]
\nou seja, [tex]9 \\leqslant l \\leqslant 12\\, .[\/tex]
\nVamos ter que analisar cada um desses quatro casos; e em cada an\u00e1lise, para efeito dos c\u00e1lculos que faremos, nos interessar\u00e1 especificamente as medidas dos lados dos tr\u00eas tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros menores.<\/p>\n
Caso 1:<\/strong> [tex]l=9[\/tex]
\nNeste caso, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], temos [tex]a+c+e=6[\/tex].
\nComo [tex]a+b+c+d+e+f=21[\/tex], segue que [tex]b+d+f=15[\/tex]. Como a soma [tex]6[\/tex] \u00e9 a m\u00ednima poss\u00edvel e a soma [tex]15[\/tex] \u00e9 a m\u00e1xima poss\u00edvel, ent\u00e3o [tex]a,c,e \\in \\{1,2,3\\}[\/tex] e [tex]b,d,f,\\in \\{4,5,6\\}[\/tex]. Assim, os lados dos tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros menores medem [tex]1,\\, 2\\, [\/tex] e [tex]\\, 3[\/tex] cent\u00edmetros. Perceba que n\u00e3o importa a ordem em que escolhemos os valores de [tex]a,c,e[\/tex], dentre os apresentados; pois para escolhas diferentes obter\u00edamos o mesmo hex\u00e1gono, apenas em uma posi\u00e7\u00e3o diferente. Logo, sem perda de generalidade, podemos fazer: <\/p>\n\n- [tex]a=1;\\, c=2;\\, e=3[\/tex]. <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
Caso 2:<\/strong> [tex]l=10[\/tex]
\nNeste caso, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], temos [tex]a+b+c=9[\/tex]. Mais uma vez, como [tex]a+b+c+d+e+f=21[\/tex], segue que [tex]d+e+f=12.[\/tex]
\nAqui as escolhas para os valores de [tex]a,b,c,d,e,f[\/tex] ser\u00e3o um pouco mais complicadas.
\nA princ\u00edpio, como os valores de [tex]a,c,e[\/tex] s\u00e3o distintos, temos que [tex]a,c,e \\in \\{1,2,6\\}[\/tex], [tex]a,c,e \\in \\{1,3,5\\}[\/tex] ou [tex]a,c,e \\in \\{2,3,4\\}.[\/tex]
\nDessa forma, aqui temos tr\u00eas possibilidades:
\n► [tex]a,c,e \\in \\{1,2,6\\}\\, [\/tex] e [tex]\\, b,d,f,\\in \\{3,4,5\\}[\/tex]
\n► [tex]a,c,e \\in \\{1,3,5\\}\\, [\/tex] e [tex]\\, b,d,f,\\in \\{2,4,6\\}[\/tex]
\n► [tex]a,c,e \\in \\{2,3,4\\}\\, [\/tex]e [tex]\\, b,d,f,\\in \\{1,5,6\\}[\/tex]<\/p>\n- No primeiro caso, para o lado no qual ter\u00edamos segmentos de comprimentos [tex]1[\/tex] e [tex]2[\/tex] cent\u00edmetros, necessitar\u00edamos de um segmento de comprimento [tex]7[\/tex] cent\u00edmetros para definir um dos lados do tri\u00e2ngulo externo, o que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel.<\/li>\n
- No terceiro caso, para o lado no qual ter\u00edamos segmentos de comprimentos [tex]2[\/tex] e [tex]4[\/tex] cent\u00edmetros, necessitar\u00edamos de um segundo segmento de comprimento [tex]4[\/tex] cent\u00edmetros para definir um dos lados do tri\u00e2ngulo externo, o que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, j\u00e1 que os seis segmentos t\u00eam comprimentos diferentes.<\/li>\n
Assim, [tex]a,c,e \\in \\{1,3,5\\}\\, [\/tex] e, sem perda de generalidade, podemos fazer:<\/p>\n
\n- [tex]a=1;\\, c=3;\\, e=5.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
Caso 3:<\/strong> [tex]l=11[\/tex]
\nNeste caso, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], temos [tex]a+c+e=12[\/tex]. Mais uma vez, como [tex]a+b+c+d+e+f=21[\/tex], segue que [tex]b+d+f=9.[\/tex]
\nAqui as escolhas para os valores de [tex]a,b,c,d,e,f[\/tex] tamb\u00e9m n\u00e3o ser\u00e3o feitas diretamente.
\nInicialmente, para os valores de [tex]a,c,e[\/tex] teremos [tex]a,c,e \\in \\{1,5,6\\}[\/tex], [tex]a,c,e \\in \\{2,4,6\\}[\/tex] ou [tex]a,c,e \\in \\{3,4,5\\}.[\/tex]
\nDessa forma, aqui temos tr\u00eas possibilidades:
\n► [tex]a,c,e \\in \\{1,5,6\\}\\, [\/tex] e [tex]\\, b,d,f,\\in \\{2,3,4\\}[\/tex]
\n► [tex]a,c,e \\in \\{2,4,6\\}\\, [\/tex] e [tex]\\, b,d,f,\\in \\{1,3,5\\}[\/tex]
\n► [tex]a,c,e \\in \\{3,4,5\\}\\, [\/tex]e [tex]\\, b,d,f,\\in \\{1,2,6\\}[\/tex]<\/p>\n- No primeiro caso, para o lado no qual ter\u00edamos segmentos de comprimentos [tex]5[\/tex] e [tex]6[\/tex] n\u00e3o utilizar\u00edamos um terceiro segmento, j\u00e1 que [tex]5+6=11[\/tex], o que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel.<\/li>\n
- No terceiro caso, para o lado no qual ter\u00edamos segmentos de comprimentos [tex]3[\/tex] e [tex]4[\/tex] cent\u00edmetros, necessitar\u00edamos de um segundo segmento de comprimento [tex]4[\/tex] cent\u00edmetros para definir um dos lados do tri\u00e2ngulo externo, o que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel, j\u00e1 que os seis segmentos t\u00eam comprimentos diferentes.<\/li>\n
Assim, [tex]a,c,e \\in \\{2,4,6\\}\\, [\/tex] e,sem perda de generalidade, podemos fazer:<\/p>\n
\n- [tex]a=2;\\, c=4;\\, e=6.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
Caso 4:<\/strong> [tex]l=12[\/tex]
\nNeste caso, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], temos [tex]a+c+e=15.[\/tex]
\nComo [tex]a+b+c+d+e+f=21[\/tex], segue que [tex]b+d+f=6.[\/tex] Como a soma [tex]6[\/tex] \u00e9 a m\u00ednima poss\u00edvel e a soma [tex]15[\/tex] \u00e9 a m\u00e1xima poss\u00edvel, ent\u00e3o [tex]a,c,e \\in \\{4,5,6\\}[\/tex] e [tex]b,d,f,\\in \\{1,2,3\\}[\/tex]. Sem perda de generalidade, podemos fazer: <\/p>\n\n- [tex]a=4;\\, c=5;\\, e=6.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
A partir dos quatro casos de comprimentos poss\u00edveis para os lados do hex\u00e1gono, podemos finalmente calcular as possibilidades para a medida da sua \u00e1rea. Para tanto, observe que a medida da \u00e1rea do hex\u00e1gono \u00e9 a diferen\u00e7a entre a "medida da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo maior" e a "soma das medidas das \u00e1reas dos tr\u00eas tri\u00e2ngulos menores ".<\/p>\n
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<\/p>\n
Assim, se [tex]A_t[\/tex] \u00e9 a medida da \u00e1rea do tri\u00e2ngulo maior, ent\u00e3o [tex]\\boxed{\\textcolor{#993300}{A_h}=A_t-\\left(\\textcolor{#ff6600}{A_1}+\\textcolor{#7f00ff}{A_2}+\\textcolor{#009900}{A_3} \\right)}\\, .[\/tex] Utilizando a f\u00f3rmula do Lembrete (3)<\/span>, segue que:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#993300}{A_h}=A_t-\\left(\\textcolor{#ff6600}{A_1}+\\textcolor{#7f00ff}{A_2}+\\textcolor{#009900}{A_3} \\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#993300}{A_h}=\\dfrac{l^2\\cdot\\sqrt{3}}{4}-\\left(\\textcolor{#ff6600}{\\dfrac{a^2\\cdot\\sqrt{3}}{4}}+\\textcolor{#7f00ff}{\\dfrac{c^2\\cdot\\sqrt{3}}{4}}+\\textcolor{#009900}{\\dfrac{e^2\\cdot\\sqrt{3}}{4}} \\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#993300}{A_h}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\left(l^2-\\textcolor{#ff6600}{a^2}-\\textcolor{#7f00ff}{c^2}-\\textcolor{#009900}{e^2} \\right).[\/tex]
\nA tabela abaixo mostra os resultados dos c\u00e1lculos da \u00e1rea do hex\u00e1gono nos quatro casos poss\u00edveis analisados.<\/p>\n[tex] \\begin{array}{c|c|c|c|c}
\nl& \\textcolor{#ff6600}{a} & \\textcolor{#7f00ff}{c} & \\textcolor{#009900}{e} & \\textcolor{#993300}{A_h}\\\\
\n\\hline
\n9\\, cm & \\textcolor{#ff6600}{1\\, cm} & \\textcolor{#7f00ff}{2\\, cm} & \\textcolor{#009900}{3\\, cm} & \\textcolor{#993300}{\\, \\dfrac{67\\sqrt{3}}{4}\\, cm^2}\\\\
\n\\hline
\n10\\, cm & \\textcolor{#ff6600}{1\\, cm} & \\textcolor{#7f00ff}{3\\, cm} & \\textcolor{#009900}{5\\, cm} & \\textcolor{#993300}{\\, \\dfrac{65\\sqrt{3}}{4}\\, cm^2}\\\\
\n\\hline
\n11\\, cm & \\textcolor{#ff6600}{2\\, cm} & \\textcolor{#7f00ff}{4\\, cm} & \\textcolor{#009900}{6\\, cm} & \\textcolor{#993300}{\\, \\dfrac{65\\sqrt{3}}{4}\\, cm^2}\\\\
\n\\hline
\n12\\, cm & \\textcolor{#ff6600}{4\\, cm} & \\textcolor{#7f00ff}{5\\, cm} & \\textcolor{#009900}{6\\, cm} & \\textcolor{#993300}{\\, \\dfrac{67\\sqrt{3}}{4}\\, cm^2}\\\\
\n\\hline \\end{array}[\/tex]<\/p>\n
\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (XXXIX Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica Espanhola– 2003) Quais s\u00e3o as possibilidades para a medida da \u00e1rea de um hex\u00e1gono que tem todos os \u00e2ngulos internos com a mesma medida e cujos lados medem, em cent\u00edmetros, [tex]1,2,3,4,5,6[\/tex], n\u00e3o necessariamente nessa ordem? Lembretes (1) A soma dos \u00e2ngulos … <\/p>\n
Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-133626","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/133626","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=133626"}],"version-history":[{"count":22,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/133626\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":193012,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/133626\/revisions\/193012"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=133626"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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