Problema<\/p>\n
\nEm um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, a hipotenusa mede 49 cm e a altura relativa \u00e0 hipotenusa mede 16 cm.
\nCalcule, em cent\u00edmetros, a soma dos comprimentos dos catetos desse tri\u00e2ngulo.\n<\/div>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n
\nNa figura abaixo, o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]B[\/tex], a altura relativa hipotenusa \u00e9 [tex]{BP}=16[\/tex], [tex]{AB}=a[\/tex] e [tex]{BC}=b[\/tex].<\/p>\n
![\"gin3\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2014\/01\/gin3.png\")
<\/p>\n
Agora, observe que [tex]\\triangle{APB}[\/tex] e [tex]\\triangle{ABC}[\/tex] s\u00e3o tri\u00e2ngulos semelhantes, pois possuem um \u00e2ngulo em comum, o [tex]\\measuredangle{PAB}[\/tex], e possuem um \u00e2ngulo reto.
\nAssim:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{a}{49} = \\dfrac{16}{b}[\/tex],
\ndonde
\n[tex]\\qquad ab = 784[\/tex].
\nPelo Teorema de Pit\u00e1goras, podemos escrever que
\n[tex]\\qquad a^2 + b^2 = 2401[\/tex],
\nlogo
\n[tex]\\qquad (a+b)^2 = 2401 + 2ab[\/tex],
\nou seja,
\n[tex]\\qquad (a+b)^2 = 3969[\/tex]
\ne, finalmente,
\n[tex]\\qquad a+b=63\\, [\/tex]cm.<\/p>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Angelo Donizeti Lorenconi Junior<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Com base na figura acima podemos comparar as \u00e1reas dos tr\u00eas tri\u00e2ngulos e observar que [tex]\\, A_{\\triangle{APB}}+A_{\\triangle{CPB}}=A_{\\triangle{ABC}}[\/tex]. \n [tex]\\qquad \\dfrac{16x}{2}+\\dfrac{16y}{2}=\\dfrac{ba}{2}[\/tex] Solu\u00e7\u00e3o elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Larissa Bonadiman Grassi<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n A \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 [tex]\\dfrac{49\\times 16}{2}[\/tex], ou seja, [tex]392\\, \\text{cm}^2[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Noemi Zeraick Monteiro<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, a hipotenusa mede 49 cm e a altura relativa \u00e0 hipotenusa mede 16 cm. Calcule, em cent\u00edmetros, a soma dos comprimentos dos catetos desse tri\u00e2ngulo. Solu\u00e7\u00e3o 1 Na figura abaixo, o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo em [tex]B[\/tex], a altura relativa hipotenusa \u00e9 [tex]{BP}=16[\/tex], [tex]{AB}=a[\/tex] e [tex]{BC}=b[\/tex]. Agora, observe que [tex]\\triangle{APB}[\/tex] … <\/p>\n
\n<\/p>\n
\nAssim, segue que:<\/p>\n
\n[tex]\\qquad 16x+16y=ba[\/tex]
\n[tex]\\qquad 16(x+y)=ba[\/tex]
\n[tex]\\qquad 16\\cdot{49}=ba[\/tex]
\n[tex]\\qquad ba=784[\/tex].
\nPelo Teorema de Pit\u00e1goras temos que
\n[tex]\\qquad a^2 + b^2 =49^2= 2401[\/tex]
\ne, por outro lado,
\n[tex]\\qquad (a+b)^2=a^2 + 2ab+b^2[\/tex].
\nAssim,
\n[tex]\\qquad (a+b)^2 = 2401 + 2ab=2401+2\\cdot 784[\/tex],
\nou seja,
\n[tex]\\qquad (a+b)^2 = 3969[\/tex]
\ne, finalmente,
\n[tex]\\qquad a+b=63[\/tex].
\nPortanto, a soma dos catetos do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 [tex]63\\, [\/tex]cm.<\/p>\n
\n
\n<\/p>\n
\nPor outro lado, essa \u00e1rea \u00e9 definida por [tex]\\dfrac{ab}{2}[\/tex], sendo [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] as medidas dos catetos, uma vez que o tri\u00e2ngulo \u00e9 ret\u00e2ngulo, assim:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{ab}{2}=392[\/tex],
\ndonde
\n[tex]\\qquad ab=784[\/tex].
\nVeja que, pelo Teorema de Pit\u00e1goras,
\n[tex]\\qquad a^2+b^2=49^2=2401[\/tex]
\nmas, por outro lado,
\n[tex]\\qquad (a+b)^2=a^2+b^2+2ab[\/tex],
\ndessa forma,
\n[tex]\\qquad (a+b)^2=(a^2+b^2)+2ab=2401+2\\cdot 784=3969[\/tex],
\ndonde,
\n[tex]\\qquad (a+b)=\\sqrt{3969}=\\fbox{63}[\/tex].
\nFinalmente,
\n[tex]\\qquad a+b=63[\/tex]
\ne, portanto, a soma dos catetos do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 [tex]63\\, [\/tex]cm.<\/p>\n
\n