Problema (Adaptado do livro C\u00edrculos Matem\u00e1ticos<\/strong>) Considere o ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex]. Sejam [tex]P[\/tex] um ponto na diagonal [tex]BD[\/tex] e [tex]F[\/tex] um ponto sobre o lado [tex]BC[\/tex] tais que o segmento [tex]PF[\/tex] \u00e9 paralelo ao lado [tex]AB[\/tex]. Sendo [tex]H[\/tex] um ponto do lado [tex]BC[\/tex] tal que [tex]\\overline{BF}=\\overline{FH}[\/tex] e [tex]Q[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dos segmentos [tex]PC[\/tex] e [tex]AH[\/tex], mostre que os tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta APQ[\/tex] e [tex]\\Delta CHQ[\/tex] possuem a mesma \u00e1rea. <\/p>\n \n<\/div>\n \n Lembrete e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n \n (1)<\/strong> <\/span> Caso de congru\u00eancia L.L.L. (lado – lado- lado):<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes os tr\u00eas lados, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Na figura fornecida no problema, tra\u00e7amos os segmentos [tex]AC[\/tex] e [tex]PH[\/tex].<\/p>\n Como o ponto [tex]F[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio do segmento [tex]BH[\/tex] e o segmento [tex]PF[\/tex] \u00e9 perpendicular ao lado [tex]BC[\/tex], conclu\u00edmos que os tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta PFH[\/tex] e [tex]\\Delta PFB[\/tex] s\u00e3o congruentes (pelo caso [tex]LAL[\/tex]) e, portanto, [tex]\\Delta PBH[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles. Ent\u00e3o, <\/p>\n \n[tex]P\\widehat{H}B=P\\widehat{B}H=D\\widehat{B}C. \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n Vemos que os tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta ACB[\/tex] e [tex]\\Delta DBC[\/tex] s\u00e3o congruentes (pelo caso [tex]LLL[\/tex]); logo, <\/p>\n \n[tex]D\\widehat{B}C=A\\widehat{C}B. \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/p>\n Da igualdades [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], segue que [tex]P\\widehat{H}B=A\\widehat{C}B.[\/tex] Com isso, temos que os segmentos [tex]PH[\/tex] e [tex]AC[\/tex] s\u00e3o paralelos. Agora, observando a figura do in\u00edcio da solu\u00e7\u00e3o, notamos que Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) (Adaptado do livro C\u00edrculos Matem\u00e1ticos) Considere o ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex]. Sejam [tex]P[\/tex] um ponto na diagonal [tex]BD[\/tex] e [tex]F[\/tex] um ponto sobre o lado [tex]BC[\/tex] tais que o segmento [tex]PF[\/tex] \u00e9 paralelo ao lado [tex]AB[\/tex]. Sendo [tex]H[\/tex] um ponto do lado [tex]BC[\/tex] tal que [tex]\\overline{BF}=\\overline{FH}[\/tex] e … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/Retangulo-ABCD.jpg\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
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\n (2)<\/strong> <\/span> Caso de congru\u00eancia L.A.L. (lado – \u00e2ngulo – lado):<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes dois lados e o \u00e2ngulo por eles definido, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes.
\n ✐ <\/span> Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desses casos de congru\u00eancia entre tri\u00e2ngulos, clique AQUI<\/a><\/strong>.
\n Nota\u00e7\u00f5es:<\/strong> <\/span> Denotaremos o segmento formado pelos pontos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex] por [tex]XY[\/tex] e sua medida por [tex]\\overline{XY}[\/tex]; o tri\u00e2ngulo formado pelos pontos [tex]X, Y[\/tex] e [tex]Z[\/tex] por [tex]\\Delta XYZ[\/tex] e sua \u00e1rea por [tex]S(\\Delta XYZ)[\/tex]; a medida do \u00e2ngulo formado pelos pontos [tex]X, Y[\/tex] e [tex]Z[\/tex] com v\u00e9rtice em [tex]Y[\/tex] por [tex]X\\widehat{Y}Z[\/tex].<\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/Retangulo-ABCD-1.jpg\")
<\/p>\n
\nDessa forma, [tex]S(\\Delta APC)=S(\\Delta ACH)[\/tex], considerando as bases dos tri\u00e2ngulos o lado comum [tex]AC[\/tex]. Para entender melhor essa afirma\u00e7\u00e3o, veja a figura abaixo, na qual mantivemos no interior do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex] apenas os elementos geom\u00e9tricos que sustentam a afirma\u00e7\u00e3o. Observe que, devido ao paralelismo dos segmentos [tex]PH[\/tex] e [tex]AC[\/tex], o comprimento das alturas dos tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta ACH[\/tex] e [tex]\\Delta ACH[\/tex] relativas \u00e0 base comum [tex]AC[\/tex] \u00e9 o mesmo, o que garante que esses tri\u00e2ngulos, de fato, t\u00eam a mesma \u00e1rea.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/fig007.png\")
<\/p>\n
\n\\begin{equation}
\nS(\\Delta APC)-S(\\Delta AQC)=S(\\Delta ACH)-S(\\Delta AQC). \\end{equation}
\nPortanto, [tex]S(\\Delta APQ)=S(\\Delta CHQ)[\/tex], ou seja, os tri\u00e2ngulos [tex]\\Delta APQ[\/tex] e [tex]\\Delta CHQ[\/tex] t\u00eam a mesma \u00e1rea.<\/p>\n
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