Problema (Adaptado do livro C\u00edrculos Matem\u00e1ticos<\/strong>) As amigas Adriana e Suellen estavam estudando para uma prova de matem\u00e1tica, cujo conte\u00fado abordado seria paridade<\/strong>. A segunda quest\u00e3o da lista de exerc\u00edcios que elas estavam resolvendo era a seguinte: <\/p>\n Suellen chegou \u00e0 conclus\u00e3o de que sim e Adriana de que n\u00e3o. \n<\/div>\n \n Ajuda <\/p>\n Em v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es \u00e9 poss\u00edvel determinarmos a paridade de express\u00f5es envolvendo n\u00fameros naturais, a partir da paridade desses n\u00fameros, sem sequer calcular as express\u00f5es. (Se precisar, visite esta Sala<\/strong><\/span><\/a>.)<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Observe a sequ\u00eancia de implica\u00e7\u00f5es abaixo: Com isso, da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex], teremos que um n\u00famero \u00edmpar \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero par. E isso \u00e9 imposs\u00edvel!<\/strong> <\/p>\n Portanto, a equa\u00e7\u00e3o [tex] \\, \\boxed{ \\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}+\\dfrac{1}{c}+\\dfrac{1}{d}=1} \\, [\/tex] N\u00c3O<\/strong> possui solu\u00e7\u00e3o no conjunto dos n\u00fameros \u00edmpares, ou seja, Adriana estava correta em sua resposta<\/strong>.<\/p>\n \n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n\n
\nQual delas acertou a quest\u00e3o?<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\nParticularmente, as tabelinhas abaixo ilustram situa\u00e7\u00f5es de paridade que ir\u00e3o aparecer na solu\u00e7\u00e3o deste problema:<\/p>\n\n
![\"aritmetica\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2016\/01\/aritmetica.png\")
<\/p>\n
\n
\n\\begin{equation}
\n\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b}+\\frac{1}{c}+\\frac{1}{d}=1\\Rightarrow \\frac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}=1 \\Rightarrow\\\\
\n \\Rightarrow bcd+acd+abd+abc=abcd.\\end{equation}
\nAssim, n\u00fameros que satisfa\u00e7am a igualdade
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{ \\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}+\\dfrac{1}{c}+\\dfrac{1}{d}=1} \\, [\/tex],
\ntamb\u00e9m satisfazem a igualdade
\n[tex]\\qquad \\qquad \\, \\boxed{ bcd+acd+abd+abc=abcd} \\, .\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex]
\nSuponha que os n\u00fameros [tex]a,b, c[\/tex] e [tex]d[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros \u00edmpares.
\nNotemos que cada uma das parcelas [tex]bcd,\\;acd,\\;abd[\/tex] e [tex]abc[\/tex] \u00e9 um n\u00famero \u00edmpar, j\u00e1 que o produto de tr\u00eas n\u00fameros \u00edmpares resulta em um n\u00famero \u00edmpar. \t<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/fig006.png\")
<\/p>\n\n
\n <\/td>\n\n