{"id":132351,"date":"2019-08-06T02:10:34","date_gmt":"2019-08-06T05:10:34","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=132351"},"modified":"2024-06-19T22:18:59","modified_gmt":"2024-06-20T01:18:59","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-duas-rosquinhas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-duas-rosquinhas\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Duas rosquinhas"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

A figura a seguir mostra duas circunfer\u00eancias conc\u00eantricas, uma de raio [tex]4\\, \\text{cm}[\/tex] e outra de raio [tex]8\\, \\text{cm}[\/tex], e dois di\u00e2metros perpendiculares entre si.<\/p>\n

<\/p>\n

Essa figura foi colorida e recortada adequadamente, de modo a formar as duas “rosquinhas” mostradas na figura abaixo.
\nQual a medida da \u00e1rea de cada “rosquinha” que aparece na figura?<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nObserve que na figura inicial temos quatro \u00e2ngulos centrais com a mesma medida, [tex]90^\\circ[\/tex]; logo, os quatro arcos definidos em cada circunfer\u00eancia t\u00eam consequentemente a mesma medida. Dessa forma, as \u00e1reas dos quatro setores circulares definidos pela circunfer\u00eancia externa t\u00eam a mesma medida, digamos [tex]A_1[\/tex], assim como os quatro setores circulares definidos pela circunfer\u00eancia interna t\u00eam a mesma medida, digamos [tex]A_2.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Se voc\u00ea gosta de fazer contas, note que [tex]A_1[\/tex] \u00e9 a medida de um quarto da circunfer\u00eancia externa e [tex]A_2[\/tex] \u00e9 a medida de um quarto da circunfer\u00eancia interna. ou seja, <\/p>\n

[tex]\\boxed{A_1=\\dfrac{\\pi\\times 8^2}{4}=16\\pi\\, \\text{cm}^2}\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad \\boxed{A_2=\\dfrac{\\pi\\times 4^2}{4}=4\\pi\\, \\text{cm}^2}.[\/tex] <\/p>\n

Vamos observar as duas “rosquinhas”.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Note que j\u00e1 temos as medidas das \u00e1reas das respectivas regi\u00f5es coloridas de azul e de verde de cada uma delas:
\n[tex]\\qquad \\qquad 2 \\times A_2=8\\pi\\, \\text{cm}^2. \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nPrecisamos agora calcular a medida da \u00e1rea da regi\u00e3o amarela e a figura abaixo nos mostra que, em cada “rosquinha”, a regi\u00e3o amarela corresponde a duas regi\u00f5es amarelas da figura original antes de ser cortada, ou seja:
\n[tex]\\qquad \\qquad 2 \\times A_3=2 \\times \\left(A_1-A_2 \\right)= 2 \\times \\left(16\\pi-4\\pi \\right)=24\\pi\\, \\text{cm}^2. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], conclu\u00edmos que a medida [tex]A[\/tex] da \u00e1rea de cada “rosquinha” \u00e9 [tex]A=8\\pi+24\\pi= \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$32\\pi\\, \\text{cm}^2$}\\,.[\/tex] <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nUm olhar atento e cr\u00edtico nos permite calcular a medida da \u00e1rea de cada “rosquinha”, sem muitas contas. Mas a observa\u00e7\u00e3o inicial da primeira solu\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00fatil para nossa an\u00e1lise; portanto, observe que na figura inicial temos quatro \u00e2ngulos centrais com a mesma medida, [tex]90^\\circ[\/tex]. Com isso, as \u00e1reas das quatro regi\u00f5es coloridas do c\u00edrculo maior t\u00eam a mesma medida, digamos [tex]A_1[\/tex], assim como as \u00e1reas das quatro regi\u00f5es coloridas do c\u00edrculo menor t\u00eam a mesma medida, digamos [tex]A_2.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Dessa forma, a \u00e1rea de cada rosquinha \u00e9 [tex]\\boxed{A_3+A_3+A_2+A_2=2\\times A_3+2 \\times A_2}.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Perceba que, mesmo coloridas com cores diferentes, as medidas das \u00e1reas das regi\u00f5es azuis e verdes s\u00e3o todas iguais; logo, a partir da figura a seguir, conclu\u00edmos que a \u00e1rea de cada “rosquinha” corresponde \u00e0 metade da \u00e1rea do c\u00edrculo maior:
\n[tex]\\qquad 2\\times A_3+2 \\times A_2=2\\times\\left(A_1-A_2\\right)+2\\times A_2=2\\times A_1.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Portanto, se a medida da \u00e1rea de cada rosquinha que aparece na figura for denotada por [tex]A[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad A=\\dfrac{\\pi \\times 8^2 }{2}=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$32\\pi\\, \\text{cm}^2$}[\/tex] .<\/p>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Na Solu\u00e7\u00e3o 2, n\u00e3o utilizamos o raio do c\u00edrculo menor.
\nQual foi a utilidade desse dado na segunda solu\u00e7\u00e3o?<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n
\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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