{"id":131152,"date":"2019-07-04T20:56:01","date_gmt":"2019-07-04T23:56:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=131152"},"modified":"2024-06-12T20:10:23","modified_gmt":"2024-06-12T23:10:23","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-mais-um-problema-de-idades","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-mais-um-problema-de-idades\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Mais um problema de idades"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220326\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Daniel, Gabriel e Rafael s\u00e3o irm\u00e3os.<br \/>\nEm 2015, a idade de Rafael era o dobro da idade de Daniel e atualmente, em 2019, a soma das idades de Gabriel e Rafael \u00e9 o triplo da idade de Daniel. Sabe-se que, quando Gabriel nasceu, Rafael tinha dois anos.<br \/>\n<strong>Em que ano a soma das idades dos tr\u00eas irm\u00e3os ser\u00e1 [tex]100[\/tex] anos?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos adotar o ano de [tex]2015[\/tex] como base para os nossos c\u00e1lculos. Dessa forma, sejam [tex]D[\/tex], [tex]G[\/tex] e [tex]R[\/tex] as respectivas idades de Daniel, Gabriel e Rafael em [tex]2015[\/tex]; assim, em [tex]2019[\/tex] (quatro anos depois), os irm\u00e3os ter\u00e3o, respectivamente, [tex]D+4[\/tex], [tex]G+4[\/tex] e [tex]R+4[\/tex] anos.<\/p>\n<p><strong><\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/prob330.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"283\" height=\"140\" class=\"aligncenter size-full wp-image-131129\" \/><\/p>\n<ul>\n<li> Sabemos que, em [tex]2015[\/tex], a idade de Rafael era o dobro da idade de Daniel. Assim, [tex]R=2D[\/tex], donde:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad D=\\dfrac{R}{2}. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<br \/>\nMas, quando Gabriel nasceu, Rafael tinha dois anos; assim, Rafael \u00e9 dois anos mais velho que Gabriel e, portanto, [tex]R=G+2[\/tex], donde<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad G=R-2. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] <\/li>\n<li>Em [tex]2019[\/tex],  a soma das idades de Gabriel e Rafael \u00e9 o triplo da idade de Daniel. Logo, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad (G+4)+(R+4)=3(D+4)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad G+R+8=3D+12[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad G=3D+4-R. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] <\/li>\n<\/ul>\n<p>Agora, substituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], obtemos:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad G\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(iii)}}{=}3D+4-R[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad G\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(i)}}{=}3 \\times \\dfrac{R}{2}+4-R [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad R-2\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(ii)}}{=}3 \\times \\dfrac{R}{2}+4-R [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 2R-4=3R+8-2R [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{R=12} \\, .[\/tex]<br \/>\nCom isso, de [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] conclu\u00edmos que [tex]\\boxed{D=6} \\, [\/tex] e de [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] temos que [tex]\\boxed{G=10} \\, .[\/tex]<br \/>\nJ\u00e1 temos condi\u00e7\u00f5es de finalizar a nossa solu\u00e7\u00e3o. Para tanto, suponhamos que, a partir de [tex]2015[\/tex], transcorram [tex]x[\/tex] anos at\u00e9 que a soma das idades dos tr\u00eas irm\u00e3os seja [tex]100[\/tex] anos. Dessa forma, em [tex]2015+x[\/tex] as idades  dos irm\u00e3os ser\u00e3o [tex]6+x[\/tex], [tex]10+x[\/tex] e [tex]12+x[\/tex] anos. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/prob330_1.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"304\" height=\"141\" class=\"aligncenter size-full wp-image-131147\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/prob330_1.png 304w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/prob330_1-300x139.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 304px) 100vw, 304px\" \/><\/p>\n<p>Como a soma dessas idades dever\u00e1 ser [tex]100[\/tex] anos, conclu\u00edmos que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad (6+x)+(10+x)+(12+x)=100[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 28+3x=100[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 3x=72[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad x=24[\/tex] anos.<br \/>\nPortanto, a soma das idades de Daniel, Gabriel e Rafael ser\u00e1 [tex]100[\/tex] em [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2039$} \\, .[\/tex] <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/prob330_2.png\" style=\"border:none\"  alt=\"\" width=\"301\" height=\"148\" class=\"aligncenter size-full wp-image-131149\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/prob330_2.png 301w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/07\/prob330_2-300x148.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 301px) 100vw, 301px\" \/><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\"> Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Mais-um-problema-de-idades.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ AQUI.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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