{"id":131109,"date":"2019-07-04T21:03:42","date_gmt":"2019-07-05T00:03:42","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=131109"},"modified":"2024-06-12T20:13:12","modified_gmt":"2024-06-12T23:13:12","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-a-planilha-do-artur","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-a-planilha-do-artur\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: A planilha do Artur"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220329\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio <\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Artur criou uma planilha eletr\u00f4nica que, a partir de um conjunto de n\u00fameros naturais, elimina todos aqueles cuja soma dos respectivos algarismos \u00e9 [tex]12[\/tex] e, em seguida, dos n\u00fameros que restam, elimina os m\u00faltiplos de [tex]12.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob328.png\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"563\" height=\"348\" class=\"aligncenter size-full wp-image-127826\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob328.png 563w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob328-300x185.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 563px) 100vw, 563px\" \/><\/p>\n<p>Para testar a planilha que criou, Artur inseriu nela todos os n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]200[\/tex].<br \/>\n<strong>Quantos n\u00fameros restaram ao final desse teste?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:33px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos analisar separadamente as duas condi\u00e7\u00f5es presentes na planilha criada pelo Artur para os n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]200[\/tex].<\/p>\n<div style=\"margin:20px;\">\n<p><strong> (1) N\u00fameros naturais [tex]n[\/tex] cuja soma dos algarismos \u00e9 igual a [tex]12[\/tex]<\/strong><\/p>\n<ul>\n<span class=\"c3\">&#9658;<\/span> Observe inicialmente que n\u00fameros com um algarismo n\u00e3o atendem esta condi\u00e7\u00e3o.<br \/>\n<span class=\"c3\">&#9658;<\/span> Vamos considerar agora os n\u00fameros naturais [tex]n[\/tex] com dois algarismos.<br \/>\nAssim, existem n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex], com [tex]0 \\lt a \\leqslant 9[\/tex] e [tex]0 \\leqslant b \\leqslant 9[\/tex], tais que [tex]n=ab.[\/tex] Como a soma dos algarismos de [tex]n[\/tex] \u00e9 [tex]12[\/tex], ent\u00e3o [tex]a+b=12.[\/tex]<br \/>\nComo o valor m\u00e1ximo de [tex]a[\/tex] \u00e9 [tex]9[\/tex], ent\u00e3o o valor m\u00ednimo de [tex]b[\/tex] \u00e9 [tex]3[\/tex]. Da mesma forma, como o valor m\u00e1ximo de [tex]b[\/tex] \u00e9 [tex]9[\/tex], ent\u00e3o o valor m\u00ednimo de [tex]a[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m [tex]3[\/tex]. Com isso, temos [tex]\\boxed{7}[\/tex] possibilidades para [tex]n[\/tex] neste segundo caso.<br \/>\n<span class=\"c3\">&#9658;<\/span> Vamos considerar neste caso os n\u00fameros naturais [tex]n[\/tex] com tr\u00eas algarismos.<br \/>\nComo estamos considerando n\u00fameros naturais at\u00e9 [tex]200[\/tex] e a soma dos algarismos de [tex]200[\/tex] n\u00e3o \u00e9 [tex]12[\/tex], [tex]n[\/tex] \u00e9 da forma [tex]1ab[\/tex], com [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais tais que [tex]0 \\leqslant a,b \\leqslant 9.[\/tex]<br \/>\nComo a soma dos algarismos de [tex]n[\/tex] \u00e9 [tex]12[\/tex], ent\u00e3o [tex]1+a+b=12[\/tex], ou seja, [tex]a+b=11.[\/tex]<br \/>\nComo o valor m\u00e1ximo de [tex]a[\/tex] \u00e9 [tex]9[\/tex], ent\u00e3o o valor m\u00ednimo de [tex]b[\/tex] \u00e9 [tex]2[\/tex]. Da mesma forma, como o valor m\u00e1ximo de [tex]b[\/tex] \u00e9 [tex]9[\/tex], ent\u00e3o o valor m\u00ednimo de [tex]a[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m [tex]2[\/tex]. Com isso, temos [tex]\\boxed{8}[\/tex] possibilidades para [tex]n[\/tex] neste \u00faltimo caso.<\/ul>\n<p>Conforme o exposto, existem [tex]7+8= \\, \\fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$15$} \\, [\/tex] n\u00fameros naturais de [tex]1[\/tex] a [tex]200[\/tex] cuja soma dos algarismos \u00e9 [tex]12.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<div style=\"margin:20px;\">\n<strong> (2) N\u00fameros naturais m\u00faltiplos de [tex]12[\/tex]<\/strong><br \/>\nAo dividirmos [tex]200[\/tex] por [tex]12[\/tex] obtemos como quociente [tex]16[\/tex],<\/p>\n<table style=\"border: 2px solid #FFFFFF; width:13%; height:auto;text-align:center;margin-left:40px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\" align=\"center\" style=\"border-RIGHT: 2px solid \"> [tex]200[\/tex]  <\/td>\n<td class=\"bf\"> [tex]12[\/tex] <\/td>\n<td style=\"border: 2px solid #FFFFFF\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td class=\"bf\" style=\"border: 2px solid #FFFFFF\">[tex]8[\/tex]  <\/td>\n<td class=\"bf\"  style=\"border-top: 2px solid \"> [tex]16[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p>assim, os m\u00faltiplos de [tex]12[\/tex] de [tex]1[\/tex] a [tex]200[\/tex] s\u00e3o:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]12 \\times 1=12 \\, , \\, 12 \\times 2=24 \\, , \\, 12 \\times 3=36 \\, , \\, \\cdots \\, , \\, 12 \\times 16=192.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Portanto, temos [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$16$} \\, [\/tex] m\u00faltiplos naturais de [tex]12[\/tex] de [tex]1[\/tex] a [tex]200.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<div style=\"margin:20px;\">\n<p><strong> (3) <\/strong> Ao somarmos os totais obtidos em <strong>(1)<\/strong> e em <strong>(2)<\/strong>,  [tex]15+16=31[\/tex], poder\u00edamos a princ\u00edpio achar que finalizamos o problema fazendo a diferen\u00e7a [tex]200-31=169[\/tex]. Mas observe que podemos ter contado duas vezes alguns n\u00fameros: os m\u00faltiplos de [tex]12[\/tex] cuja soma dos algarismos \u00e9 [tex]12[\/tex], n\u00e3o \u00e9?<br \/>\nPara eliminar do total [tex]31[\/tex] os n\u00fameros que satisfazem simultaneamente as condi\u00e7\u00f5es <strong>(1)<\/strong> e <strong>(2)<\/strong>, observamos que um n\u00famero natural cuja soma dos algarismos \u00e9 [tex]12[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]3.[\/tex] Assim, precisamos apenas nos preocupar em descobrir quais dentre os n\u00fameros com soma dos algarismos [tex]12[\/tex] s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]4.[\/tex]<\/p>\n<ul>\n<span class=\"c3\">&#9658;<\/span> J\u00e1 sabemos que os n\u00fameros naturais [tex]n=ab[\/tex] com dois algarismos tais que [tex]a+b=12[\/tex] t\u00eam necessariamente  [tex]3 \\leqslant a \\leqslant 9[\/tex], ou seja [tex]39 \\, , \\, 48 \\, , \\, 57 \\, ,66 \\, , \\, 75 \\, , \\, 84 \\, , \\, 93[\/tex]. Destes, apenas [tex]48[\/tex] e [tex]84[\/tex] s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]12[\/tex] e, portanto, foram contados duas vezes.<br \/>\n<span class=\"c3\">&#9658;<\/span> Tamb\u00e9m sabemos que os n\u00fameros naturais com tr\u00eas algarismos que nos interessam s\u00e3o da forma [tex]n=1ab[\/tex] com  [tex]2 \\leqslant a \\leqslant 9[\/tex] e [tex]a+b=11[\/tex]. Destes, apenas [tex]156[\/tex] e [tex]192[\/tex] s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]12[\/tex] e, portanto, foram contados duas vezes.<\/ul>\n<p>Assim, [tex]2+2= \\, \\fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$4$}[\/tex] n\u00fameros foram contados duas vezes.\n<\/p><\/div>\n<p>Agora sim, j\u00e1 podemos finalizar nossa solu\u00e7\u00e3o.<br \/>\nObserve que temos a seguinte situa\u00e7\u00e3o:<br \/>\n&#8211; M\u00faltiplos de [tex]12[\/tex] cuja soma dos algarismos \u00e9 [tex]12: \\, 4[\/tex];<br \/>\n&#8211; N\u00fameros com soma dos algarismos igual a [tex]12[\/tex], mas n\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]12: \\, 15-4=11[\/tex];<br \/>\n&#8211; M\u00faltiplos de [tex]12[\/tex] cuja soma dos algarismos n\u00e3o \u00e9 [tex]12: \\, 16-4=12[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob328_1.png\" alt=\"\" width=\"477\" height=\"342\" class=\"aligncenter size-full wp-image-131091\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob328_1.png 477w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob328_1-300x215.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 477px) 100vw, 477px\" \/><\/p>\n<p>Dessa forma, dos [tex]200[\/tex] n\u00fameros com os quais Arthur testou sua planilha, [tex]4+11+12=27[\/tex] foram eliminados, restando ent\u00e3o [tex]200-27= \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$173$} \\, [\/tex] n\u00fameros.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 30px; margin-bottom: 8px;border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:6px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 8px; border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 8px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Para quem gosta de ver para crer, disponibilizamos uma tabela com a an\u00e1lise dos [tex]200[\/tex] n\u00fameros testados pelo Artur utilizando os dois crit\u00e9rios da tabela que ele criou. Para v\u00ea-la, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/Prob328_tabela.pdf\"><strong>AQUI<\/strong><\/a>.<br \/>\nDisponibilizamos abaixo um arquivo contendo essa tabela. Na tabela do arquivo voc\u00ea poder\u00e1 incluir duzentos n\u00fameros naturais quaisquer e testar os crit\u00e9rios definidos pelo Artur.<\/p>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align:center; border-style: solid; border-color :#FFFAFA; border-width:thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/Prob328_FINAL.xlsx\" title=\" Arquivo do Excel\" download=\"Planilha do Artur.xlsx\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo<\/strong><\/span><\/a> <\/p>\n<\/div>\n<p><strong>Observa\u00e7\u00e3o:<\/strong> Para abrir o arquivo, voc\u00ea precisa ter o <em>  <strong>Excel <\/strong><\/em> instalado em seu computador.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/A-planilha-do-Artur-.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ A planilha do Artur.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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