Problema (XXXIII OPM<\/strong>, 2015) No paralelogramo [tex]ABCD[\/tex] da figura abaixo,<\/p>\n Figura n\u00e3o proporcional aos dados do problema<\/p><\/div>\n Sabendo que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]PBQ [\/tex] \u00e9 [tex]2 \\, cm^2[\/tex] e a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABP [\/tex] \u00e9 [tex]6 \\, cm^2[\/tex], determine as \u00e1reas em [tex]cm^2[\/tex] dos tri\u00e2ngulos [tex]ADC \\, [\/tex] e [tex] \\, PBC[\/tex].<\/p>\n Nota\u00e7\u00f5es: <\/strong> \n<\/div>\n \n AJUDA<\/p>\n \n Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Um quadril\u00e1tero convexo cujos lados opostos s\u00e3o paralelos \u00e9 denominado paralelogramo<\/em><\/strong>. \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Assim, pela Propriedade (3)<\/strong><\/span> da AJUDA, segue que: Finalmente, temos que: Por tudo que foi exposto, temos que as \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]ADC \\, [\/tex] e [tex] \\, PBC[\/tex] s\u00e3o [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6 \\, cm^2$} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2 \\, \\sqrt{3} \\, cm^2$} \\, [\/tex], respectivamente.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) (XXXIII OPM, 2015) No paralelogramo [tex]ABCD[\/tex] da figura abaixo, [tex]P[\/tex] \u00e9 um ponto do segmento [tex]\\overline{DC}[\/tex]; o ponto [tex]Q[\/tex] \u00e9 a interse\u00e7\u00e3o da diagonal [tex]\\overline{AC} [\/tex] com a reta que passa por [tex]P[\/tex] e \u00e9 paralela ao segmento [tex]\\overline{AD}[\/tex]. Sabendo que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob327.png\")
\n– Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].
\n– Denotaremos a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo [tex]XYZ[\/tex], por exemplo, por [tex][XYZ].[\/tex]<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\nPropriedades: <\/strong>
\n(1)<\/strong><\/span> Lados opostos de um paralelogramo s\u00e3o congruentes, ou seja, t\u00eam mesma medida.
\n (2)<\/strong> <\/span> Caso de Semelhan\u00e7a A.A.<\/strong> (\u00e2ngulo \u2013 \u00e2ngulo): Se dois \u00e2ngulos de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o congruentes a dois \u00e2ngulos de outro tri\u00e2ngulo, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes.
\n (3)<\/strong> <\/span> A raz\u00e3o entre as \u00e1reas de dois tri\u00e2ngulos semelhantes \u00e9 o quadrado da raz\u00e3o de semelhan\u00e7a.<\/p>\n
\n\n
\nCom isso, como a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABP[\/tex] \u00e9 [tex]6 \\, cm^2[\/tex], ent\u00e3o a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ACD \\, [\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m [tex] \\, \\boxed{6 \\, cm^2} \\, .[\/tex]<\/li>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob327_1.png\")
<\/p>\n
\nCom isso, os tri\u00e2ngulos [tex]PQB \\, [\/tex] e [tex] \\, PQC[\/tex] t\u00eam a mesma \u00e1rea. Como a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]PBQ [\/tex] \u00e9 [tex]2 \\, cm^2[\/tex], a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]PQC[\/tex] tamb\u00e9m ser\u00e1 [tex]\\boxed{2 \\, cm^2} \\, .[\/tex] <\/li>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob327_2.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob327_3.png\")
<\/p>\n
\n[tex] \\qquad \\dfrac{[DCA]}{[PCQ]}= \\dfrac{CD^2}{CP^2}\\\\
\n \\, \\, [\/tex]
\n[tex] \\qquad \\dfrac{6}{2}= \\dfrac{CD^2}{CP^2}\\\\
\n \\, \\, [\/tex]
\n[tex] \\qquad \\left(\\dfrac{CD}{CP}\\right)^2=3\\\\
\n \\, \\, [\/tex]
\n[tex] \\qquad \\dfrac{CD}{CP}=\\sqrt{3}\\\\
\n \\, \\, [\/tex]
\n[tex] \\qquad CP=\\dfrac{CD}{\\sqrt{3}}.[\/tex]<\/p>\n
\nCom isso, os tri\u00e2ngulos [tex]PCB \\, [\/tex] e [tex] \\, PCA[\/tex] t\u00eam a mesma \u00e1rea.<\/li>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob327_4.png\")
\n<\/ul>\n
\n[tex]\\qquad [PBC]=[PCA]\\\\ \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad [PBC]=\\dfrac{CP \\times k}{2}\\\\ \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad [PBC]=CP \\times \\dfrac{k}{2}\\\\ \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad [PBC]=\\dfrac{CD}{\\sqrt{3}} \\times \\dfrac{ k}{2}\\\\ \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad [PBC]=\\dfrac{1}{\\sqrt{3}} \\times \\dfrac{CD \\times k}{2}\\\\ \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad [PBC]=\\dfrac{1}{\\sqrt{3}} \\times [ACD]\\\\ \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad [PBC]=\\dfrac{1}{\\sqrt{3}} \\times 6\\\\ \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad [PBC]=\\dfrac{6}{\\sqrt{3}}\\\\ \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad [PBC]=\\dfrac{6 \\times \\sqrt{3}}{3}\\\\ \\, \\, [\/tex]
\n[tex]\\qquad [PBC]=2 \\, \\sqrt{3} \\, cm^2[\/tex]<\/p>\n
\n