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Problema (Unifor<\/strong>-2018) Um laborat\u00f3rio analisa um determinado exame com efici\u00eancia de [tex]95 \\%[\/tex] para detectar uma doen\u00e7a quando essa doen\u00e7a existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado \u201cfalso positivo\u201d para [tex]1 \\%[\/tex] das pessoas sadias testadas. Se [tex]0,5 \\%[\/tex] da popula\u00e7\u00e3o tem a doen\u00e7a, qual \u00e9, aproximadamente, a probabilidade de uma pessoa ter a doen\u00e7a dado que seu exame foi positivo?<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Usando rigor na escrita, dados dois eventos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], a probabilidade condicional, denotada por [tex]P(A|B)[\/tex], \u00e9 a probabilidade de [tex]A[\/tex] dado [tex]B[\/tex], isto \u00e9, a probabilidade de [tex]A[\/tex] ocorrer dado que [tex]B[\/tex] ocorre. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) (Unifor-2018) Um laborat\u00f3rio analisa um determinado exame com efici\u00eancia de [tex]95 \\%[\/tex] para detectar uma doen\u00e7a quando essa doen\u00e7a existe de fato. Entretanto, o teste aponta um resultado \u201cfalso positivo\u201d para [tex]1 \\%[\/tex] das pessoas sadias testadas. Se [tex]0,5 \\%[\/tex] da popula\u00e7\u00e3o tem a doen\u00e7a, … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
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\nSabe-se que [tex]\\boxed{P(A\\mid B)=\\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}=\\dfrac{probabilidade\\ de \\ A\\ ocorrer \\ e\\ B \\ ocorrer}{probabilidade\\ de\\ B \\ ocorrer}}[\/tex] , se [tex]P(B)\\ne 0 \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex]
\nPortanto, tamb\u00e9m vale que [tex]\\boxed{P(A\\cap B)=P(B)\\cdot P(A\\mid B)} \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nQueremos calcular [tex]P(doente|positivo)[\/tex] e utilizaremos as f\u00f3rmulas acima.
\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(i)} \\, [\/tex], temos que
\n[tex]\\qquad P(doente|positivo)=\\dfrac{P(doente\\ e\\ positivo)}{P(positivo)} \\, [\/tex]
\ne por [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex],
\n[tex]\\qquad P(doente\\ e\\ positivo)=P(doente)\\cdot P(positivo|doente).[\/tex]
\nAl\u00e9m disso, [tex]P(positivo)=P(positivo\\ e \\ doente)+P(positivo\\ e \\ sadio)[\/tex], assim, por [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex],
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}P(positivo)&=P(positivo\\ e \\ doente)+P(positivo\\ e \\ sadio)\\\\
\n&=P(doente)\\cdot P(positivo|doente)+P(sadio)\\cdot P(positivo|sadio).\\end{align*}[\/tex]
\nAssim,
\n[tex]\\;\\begin{align*}P(doente|positivo)&=\\dfrac{P(doente)\\cdot P(positivo|doente)}{P(doente)\\cdot P(positivo|doente)+P(sadio)\\cdot P(positivo|sadio)}\\\\
\n&=\\dfrac{0,005\\cdot 0,95}{0,005\\cdot 0,95+0,995\\cdot 0,01}\\cong \\boxed{0,3231} \\, .\\end{align*}[\/tex]
\nPortanto, a probabilidade de uma pessoa ter a doen\u00e7a dado que seu exame foi positivo \u00e9 aproximadamente [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$32\\%$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
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