{"id":130638,"date":"2019-06-22T20:50:27","date_gmt":"2019-06-22T23:50:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=130638"},"modified":"2023-06-02T03:19:44","modified_gmt":"2023-06-02T06:19:44","slug":"problemao-perimetro","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-perimetro\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Per\u00edmetro"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

Na figura abaixo, [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um quadril\u00e1tero cujos lados [tex]\\overline{AD}[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento e a medida dos \u00e2ngulos [tex]D\\hat{A}B [\/tex] e [tex]C\\hat{B}A[\/tex] s\u00e3o [tex]80^\\circ[\/tex] e [tex]40^\\circ[\/tex], respectivamente. O ponto [tex]P[\/tex] \u00e9 tal que o tri\u00e2ngulo [tex]DPC[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero.
\nCalcule o per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo [tex]APB[\/tex], sabendo que o comprimento do segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex] \u00e9 [tex]6\\;cm[\/tex].<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Nota\u00e7\u00e3o: <\/strong>Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], por [tex]\\overline{AB}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]AB[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

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(1)<\/strong><\/span> A soma dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo vale [tex]180^\\circ[\/tex].
\n(2)<\/strong><\/span> A soma dos \u00e2ngulos internos de qualquer quadril\u00e1tero convexo vale [tex]360^\\circ[\/tex].
\n(3)<\/strong><\/span> Se dois tri\u00e2ngulos possuem dois lados congruentes e os \u00e2ngulos entre esses lados possuem a mesma medida, ent\u00e3o esses tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes pelo caso L.A.L.<\/strong> .
\n(4)<\/strong><\/span> Se um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui um \u00e2ngulo de [tex]60^\\circ[\/tex], ent\u00e3o esse tri\u00e2ngulo \u00e9 equil\u00e1tero.<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nInicialmente, vamos destacar na figura a seguir as informa\u00e7\u00f5es dadas no enunciado:<\/p>\n

\nI) [tex]AD = BC[\/tex];
\nII) a medida do \u00e2ngulo [tex]D\\hat{A}B [\/tex] \u00e9 [tex]80^\\circ[\/tex];
\nIII) a medida do \u00e2ngulo [tex]C\\hat{B}A [\/tex] \u00e9 [tex]40^\\circ[\/tex];
\nIV) [tex]DPC[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero. Dessa afirma\u00e7\u00e3o, conclu\u00edmos que [tex]P\\hat{D}C[\/tex] e [tex]P\\hat{C}D[\/tex] medem [tex]\\dfrac{180^\\circ}{3}=60^\\circ.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Chamemos de [tex]x[\/tex] a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{D}C[\/tex]. Pelo lembrete 2<\/strong>, podemos concluir que a medida do \u00e2ngulo [tex]D\\hat{C}B[\/tex] \u00e9:
\n[tex]\\qquad \\qquad 360^\\circ-80^\\circ-40^\\circ-x=\\boxed{240^\\circ-x} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como um \u00e2ngulo de uma volta completa mede [tex]360^\\circ[\/tex], podemos encontrar a medida do \u00e2ngulo [tex]P\\hat{C}B[\/tex] em fun\u00e7\u00e3o de [tex]x[\/tex]:
\n[tex]\\qquad \\qquad 360^\\circ-60^\\circ-(240^\\circ-x)=\\boxed{60^\\circ+x} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Perceba que o tri\u00e2ngulo [tex]PDA[\/tex] \u00e9 congruente ao tri\u00e2ngulo [tex]PCB[\/tex], pelo caso L.A.L.<\/strong> .<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Devido a essa congru\u00eancia, os segmentos [tex]\\overline{PA}[\/tex] e [tex]\\overline{PB}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento e os \u00e2ngulos [tex]D\\hat{P}A[\/tex] e [tex]C\\hat{P}B[\/tex] tamb\u00e9m t\u00eam a mesma medida, digamos [tex]a.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como o tri\u00e2ngulo [tex]DPC[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero, o \u00e2ngulo [tex]A\\hat{P}C[\/tex] mede [tex]60^\\circ -a[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Note que o tri\u00e2ngulo [tex]APB[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles e o \u00e2ngulo [tex]A\\hat{P}B[\/tex] mede [tex]60^\\circ[\/tex]. Assim, pelo lembrete 4<\/strong>, o tri\u00e2ngulo [tex]APB[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como [tex]AB = 6\\; cm[\/tex], o per\u00edmetro do tri\u00e2ngulo ser\u00e1 [tex]6+6+6=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$18\\;cm$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

\nSolu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Na figura abaixo, [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um quadril\u00e1tero cujos lados [tex]\\overline{AD}[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento e a medida dos \u00e2ngulos [tex]D\\hat{A}B [\/tex] e [tex]C\\hat{B}A[\/tex] s\u00e3o [tex]80^\\circ[\/tex] e [tex]40^\\circ[\/tex], respectivamente. O ponto [tex]P[\/tex] \u00e9 tal que o tri\u00e2ngulo [tex]DPC[\/tex] \u00e9 equil\u00e1tero. Calcule o per\u00edmetro do … <\/p>\n

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