{"id":130512,"date":"2019-06-21T18:33:10","date_gmt":"2019-06-21T21:33:10","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=130512"},"modified":"2023-06-02T03:24:06","modified_gmt":"2023-06-02T06:24:06","slug":"problemao-paralelepipedo-reto-retangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-paralelepipedo-reto-retangulo\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Paralelep\u00edpedo retorret\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

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(Fundamentos de Matem\u00e1tica Elementar<\/strong>, Vol.10 – Adaptado) Considere o paralelep\u00edpedo retorret\u00e2ngulo de dimens\u00f5es [tex]a, b[\/tex] e [tex]c[\/tex], ilustrado na figura.
\nCalcule os valores das dimens\u00f5es [tex]a, b[\/tex] e [tex]c[\/tex] e do seu volume, sabendo que a soma de suas dimens\u00f5es \u00e9 [tex]45\\;cm[\/tex], que a sua diagonal da base mede [tex]25\\;cm[\/tex] e sua \u00e1rea total \u00e9 igual a [tex]1300\\;cm^2[\/tex]. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

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Devemos calcular os valores de [tex]a, b[\/tex] e [tex]c[\/tex] e tamb\u00e9m o volume do paralelep\u00edpedo retorret\u00e2ngulo, que \u00e9 expresso por [tex] V=a\\cdot b\\cdot c.[\/tex]
\nConsideremos que [tex]d=25\\;cm[\/tex] seja o comprimento da diagonal da base do paralelep\u00edpedo retorret\u00e2ngulo; ent\u00e3o, do Teorema de Pit\u00e1goras, segue que:
\n[tex]\\qquad d^2=a^2+b^2\\\\
\n\\qquad a^2+b^2=25^2 \\\\
\n\\qquad a^2+b^2=625. \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(i)} [\/tex]
\nDo enunciado, a soma das dimens\u00f5es vale [tex]45\\;cm[\/tex], ou seja,
\n[tex]\\qquad a+b+c=45.\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nElevando ao quadrado os dois membros da equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], obtemos que:
\n[tex]\\qquad (a+b+c)^2=(45)^2\\\\
\n\\qquad a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=2025.\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\nSabemos que a \u00e1rea total do paralelep\u00edpedo retorret\u00e2ngulo, [tex]A_t[\/tex], \u00e9 igual a [tex]1300\\;cm^2[\/tex] e \u00e9 expressa por
\n[tex]\\qquad A_t=2(ab+ac+bc)\\\\
\n\\qquad2(ab+ac+bc)=1300.\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]
\nSubstituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] segue que:
\n[tex] \\qquad a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=2025\\\\
\n\\qquad 625+c^2+1300=2025\\\\
\n\\qquad c^2=100 \\\\
\n\\qquad c=10\\;cm.[\/tex]
\nSubstituindo o valor de [tex]c=10[\/tex] na equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], vem que
\n[tex] \\qquad a+b=35\\Rightarrow a=35-b.\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex]
\nSubstituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex] em [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] obtemos
\n[tex] \\qquad (35-b)^2+b^2=625\\Rightarrow 1225-70b+b^2+b^2=625\\\\
\n\\qquad 2b^2-70b+600=0. \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; \\textcolor{#800000}{(vi)} [\/tex]
\nResolvendo a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau, [tex]\\textcolor{#800000}{(vi)}[\/tex], obtemos que [tex]b=20[\/tex] ou [tex]b=15[\/tex], donde [tex]a=15 [\/tex] ou [tex]a=20.[\/tex]
\nAssim, as dimens\u00f5es do paralelep\u00edpedo retorret\u00e2ngulo s\u00e3o [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$20\\;cm $} \\, [\/tex], [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15\\;cm $}[\/tex] e [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10\\;cm $}[\/tex].
\nComo seu volume \u00e9 [tex]V=a\\cdot b \\cdot c[\/tex], ent\u00e3o [tex]V=20\\cdot 15\\cdot 10= \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3000\\;cm^3$}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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