{"id":13048,"date":"2014-01-26T01:59:55","date_gmt":"2014-01-26T03:59:55","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=13048"},"modified":"2023-01-13T02:24:06","modified_gmt":"2023-01-13T05:24:06","slug":"problema-olimpico-nivel-b-qual-o-angulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-olimpico-nivel-b-qual-o-angulo\/","title":{"rendered":".Problema Ol\u00edmpico – N\u00edvel B: Qual o \u00e2ngulo?"},"content":{"rendered":"
\n

Problema<\/strong><\/p>\n

\nConsidere um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex].
\nSobre o lado [tex]\\overline{AC}[\/tex], tome o ponto [tex]P[\/tex] de modo que a soma das medidas dos lados [tex]\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{PC}[\/tex] seja igual \u00e0 medida do lado [tex]\\overline{PA}[\/tex], isto \u00e9, [tex]a+x=y.[\/tex]
\nSeja [tex]M[\/tex] o ponto m\u00e9dio do lado [tex]\\overline{AB}[\/tex].
\n\"b2\"<\/p>\n

Se a medida do \u00e2ngulo [tex]APM[\/tex] \u00e9 [tex]43^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o a medida [tex]\\theta[\/tex], em graus, do \u00e2ngulo [tex]ACB[\/tex] \u00e9 tal que:<\/p>\n

    \n
  1. [tex]~40^{\\circ}<\\theta<50^{\\circ}[\/tex];<\/li>\n
  2. [tex]~50^{\\circ}<\\theta<60^{\\circ}[\/tex];<\/li>\n
  3. [tex]~60^{\\circ}<\\theta<70^{\\circ}[\/tex];<\/li>\n
  4. [tex]~70^{\\circ}<\\theta<80^{\\circ}[\/tex];<\/li>\n
  5. [tex]~80^{\\circ}<\\theta<90^{\\circ}[\/tex].<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n

     <\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n

    \nA princ\u00edpio, vamos prolongar o segmento [tex]\\overline{AC}[\/tex] at\u00e9 o ponto [tex]D[\/tex], de tal maneira que [tex]CD=a[\/tex], como ilustrado na figura abaixo. <\/p>\n

    \"gincana1\"<\/p>\n

    Sabemos que [tex]y=x+a[\/tex], consequentemente [tex]PD=PC+CD= x + a = y = AP[\/tex]. Logo [tex]P[\/tex] \u00e9 o ponto m\u00e9dio do segmento [tex]\\overline{AD}[\/tex].
    \nAssim, [tex]\\overline{PM}[\/tex] \u00e9 a base m\u00e9dia do tri\u00e2ngulo [tex]\\triangle{ABD}[\/tex](*)<\/strong><\/sup>, o que implica na semelhan\u00e7a [tex]\\triangle{AMP} \\cong \\triangle{ABD}[\/tex]. Com isso, [tex]\\measuredangle BDC=\\measuredangle{MPA} = 43^{\\circ}[\/tex].
    \nPor outro lado [tex]BC=CD[\/tex], assim o tri\u00e2ngulo [tex]\\triangle{BCD}[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles de base [tex]\\overline{BD}[\/tex] e, portanto, [tex]\\measuredangle{CBD} = \\measuredangle{BDC} = 43^{\\circ}[\/tex].
    \nVisto que a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^{\\circ}[\/tex](**)<\/strong><\/sup>, conclu\u00edmos que
    \n[tex]\\qquad \\measuredangle{BCD} = 180^{\\circ} – 2 \\cdot 43^{\\circ} =94^{\\circ}[\/tex].
    \nFinalmente, segue que
    \n[tex]\\qquad \\theta=\\measuredangle{ACB} = 180^{\\circ} – 94^{\\circ} = 86^{\\circ}[\/tex].
    \nComo [tex]80^{\\circ} < 86^{\\circ} < 90^{\\circ}[\/tex], a alternativa correta \u00e9 a E<\/strong>.<\/p>\n

    (*)<\/strong><\/span> Se voc\u00ea n\u00e3o sabe o que \u00e9 uma base m\u00e9dia de um tri\u00e2ngulo, clique AQUI<\/strong><\/span><\/a><\/span><\/a>.
    \n (**)<\/strong><\/span> Visite a nossa Sala de Estudos     Soma dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo<\/strong><\/span><\/a>.<\/p>\n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Angelo Donizeti Lorenconi Junior<\/strong>. <\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Problema Considere um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex]. Sobre o lado [tex]\\overline{AC}[\/tex], tome o ponto [tex]P[\/tex] de modo que a soma das medidas dos lados [tex]\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{PC}[\/tex] seja igual \u00e0 medida do lado [tex]\\overline{PA}[\/tex], isto \u00e9, [tex]a+x=y.[\/tex] Seja [tex]M[\/tex] o ponto m\u00e9dio do lado [tex]\\overline{AB}[\/tex]. Se a medida do \u00e2ngulo [tex]APM[\/tex] \u00e9 [tex]43^{\\circ}[\/tex], ent\u00e3o a medida [tex]\\theta[\/tex], … <\/p>\n

    Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-13048","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/13048","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=13048"}],"version-history":[{"count":45,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/13048\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":182876,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/13048\/revisions\/182876"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=13048"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}