Uma atividade diferente<\/p>\n
\n
\n
Na Sala “A Matem\u00e1tica dos CPF’s”, voc\u00eas acompanharam os c\u00e1lculos para se obter os D\u00edgitos Verificadores para o CPF n\u00famero [tex]280.012.389\u2013XY[\/tex]. Vamos relembrar os procedimentos.<\/p>\n
- \n
- C\u00e1lculo para o primeiro D\u00edgito Verificador:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n
[tex]\\begin{array}{cccccccccccccccccc}
\n&2&&8&&0&&0&&1&&2&&3&&8&&9\\\\
\n&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times\\\\
\n&20&&9&&8&&7&&6&&5&&4&&3&&2\\\\
\n\\hline
\n&10&+&72&+&0&+&0&+&6&+&10&+&12&+&24&+&18&=\\boxed{162}
\n\\end{array}[\/tex]<\/span><\/p>\n\n
Como
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c}
\n162 \\, \\, \\end{array} \\begin{array}{|c}
\n \\, \\, 11 \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, 8
\n\\end{array}\\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, \\, 14
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\nent\u00e3o, o primeiro d\u00edgito verificador \u00e9 [tex]X = 11 \u2013 8 = \\textcolor{red}{3}.[\/tex]<\/p>\n
- \n
- C\u00e1lculo para o segundo D\u00edgito Verificador:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n
[tex] \\begin{array}{cccccccccccccccccc}
\n&8&&0&&0&&1&&2&&3&&8&&9&&3\\\\
\n&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times\\\\
\n&10&&9&&8&&7&&6&&5&&4&&3&&2\\\\
\n\\hline
\n&80&+&0&+&0&+&7&+&12&+&15&+&32&+&27&+&6&=\\boxed{179}
\n\\end{array}[\/tex]<\/span><\/p>\n\n
Como
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c}
\n179 \\, \\, \\end{array} \\begin{array}{|c}
\n \\, \\, 11 \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, 3
\n\\end{array}\\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, \\, 16
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\nent\u00e3o, o segundo d\u00edgito verificador \u00e9 [tex]Y = 11 \u2013 3 = \\textcolor{blue}{8}[\/tex]<\/p>\n
- \n
- Finaliza\u00e7\u00e3o:<\/strong> O CPF completo \u00e9 [tex]280.012.389-\\textcolor{red}{3}\\textcolor{blue}{8}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
\nMas e se os nove primeiros algarismos fossem ordenadamente multiplicados
\npela sequ\u00eancia [tex]\\boxed{1,2,3,4,5,6,7,8 \\text{ e } 9}[\/tex],
\n ao inv\u00e9s de pela sequ\u00eancia [tex]\\boxed{10,9,8,7,6,5,4,3 \\text{ e } 2}[\/tex]?<\/strong><\/p>\nVejamos…<\/strong><\/p>\n
\n
- \n
- No c\u00e1lculo para o primeiro D\u00edgito Verificador ter\u00edamos:<\/li>\n<\/ul>\n
[tex]\\;\\begin{array}{cccccccccccccccccc}
\n&2&&8&&0&&0&&1&&2&&3&&8&&9\\\\
\n&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times\\\\
\n&1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&8&&9\\\\
\n\\hline
\n&2&+&16&+&0&+&0&+&5&+&12&+&21&+&64&+&81&=\\boxed{201}
\n\\end{array}[\/tex]<\/span><\/p>\n\n
Fazendo a divis\u00e3o da soma obtida por [tex]11[\/tex], ter\u00edamos:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c}
\n201 \\, \\, \\end{array} \\begin{array}{|c}
\n \\, \\, 11 \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, \\textcolor{red}{3}
\n\\end{array}\\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, \\, 18
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\nEpa, espere a\u00ed!
\nO primeiro d\u00edgito verificador da sequ\u00eancia
\n\u00e9 o resto da divis\u00e3o???<\/p>\n- \n
- C\u00e1lculo para o segundo D\u00edgito Verificador:<\/li>\n<\/ul>\n
[tex]\\;\\begin{array}{cccccccccccccccccc}
\n&8&&0&&0&&1&&2&&3&&8&&9&&3\\\\
\n&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times\\\\
\n&1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&8&&9\\\\
\n\\hline
\n&8&+&0&+&0&+&4&+&10&+&18&+&56&+&72&+&27&=\\boxed{195}
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\n
Fazendo a divis\u00e3o da segunda soma obtida por [tex]11[\/tex], ter\u00edamos:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c}
\n195 \\, \\, \\end{array} \\begin{array}{|c}
\n \\, \\, 11 \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, \\textcolor{blue}{8}
\n\\end{array}\\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, \\, 17
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n\nEpa, de novo!
\nO segundo d\u00edgito verificador da sequ\u00eancia
\ntamb\u00e9m \u00e9 o resto da divis\u00e3o…<\/p>\n<\/ul>\n\n
Ser\u00e1 que foi uma simples coincid\u00eancia ou temos, de fato, um segundo algoritmo para calcular os dois d\u00edgitos verificadores, que satisfazem as condi\u00e7\u00f5es definidas pela Receita Federal, de uma sequ\u00eancia de d\u00edgitos da forma ABC.DEF.GHI<\/strong> ?
\nBom, voc\u00eas j\u00e1 devem ter adivinhado o que ir\u00e3o fazer nesta atividade, n\u00e3o \u00e9? Mas, mesmo assim, vamos formalizar a atividade.<\/p>\n\nATIVIDADE 7<\/em><\/p>\n
\n
Considerem o seguinte algoritmo para o c\u00e1lculo dos D\u00edgitos Verificadores X<\/strong> e Y<\/strong> da sequ\u00eancia de d\u00edgitos ABC.DEF.GHI-XZ<\/strong>, conhecidos os nove d\u00edgitos iniciais:<\/p>\n
\n►<\/span> Os nove primeiros algarismos s\u00e3o multiplicados ordenadamente da esquerda para direita pela sequ\u00eancia [tex]1,2,3,4,5,6,7,8[\/tex] e [tex]9[\/tex] (o primeiro por [tex]1[\/tex], o segundo por [tex]2[\/tex], e assim sucessivamente). Em seguida, calcula-se o resto [tex]r_1[\/tex] da divis\u00e3o da soma dos resultados das multiplica\u00e7\u00f5es efetuadas por [tex]11[\/tex]:<\/p>\n- – se esse resto for [tex]10[\/tex], o primeiro d\u00edgito verificador \u00e9 zero [tex](X=0)[\/tex]; caso contr\u00e1rio, [tex]X[\/tex] \u00e9 o pr\u00f3prio resto [tex](X=r_1).[\/tex]<\/ul>\n
- Primeiro D\u00edgito Verificador ([tex]X[\/tex])<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n
[tex] \\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\n[tex]\\begin{array}{cccccccccccccccccc}
\n&A&&B&&C&&D&&E&&F&&G&&H&&I\\\\
\n&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times\\\\
\n&1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&8&&9\\\\
\n\\hline
\n&A&+&2B&+&3C&+&4D&+&5E&+&6F&+&7G&+&8H&+&9I&=\\boxed{S_1}
\n\\end{array}\\\\
\n \\, \\, \\,
\n[\/tex]
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{(ii)}\\\\
\n\\quad \\begin{array}{c}
\nS_1 \\, \\, \\end{array} \\begin{array}{|c}
\n \\, \\, 11 \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\quad \\begin{array}{c}
\n \\, \\, r_1
\n\\end{array}\\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, \\, Q_1
\n\\end{array}\\\\
\n \\, \\,
\n[\/tex]<\/span>
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\n[tex]\\quad[\/tex] Se [tex]r_1=10[\/tex], ent\u00e3o [tex]X=0[\/tex]. Se [tex]r_1\\ne 10[\/tex], ent\u00e3o [tex]X=r_1.[\/tex]<\/p>\n\n
- \n
- Segundo D\u00edgito Verificador ([tex]Y[\/tex])<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n
[tex] \\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\n[tex]\\begin{array}{cccccccccccccccccc}
\n&B&&C&&D&&E&&F&&G&&H&&I&&X\\\\
\n&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times&&\\times\\\\
\n&1&&2&&3&&4&&5&&6&&7&&8&&9\\\\
\n\\hline
\n&B&+&2C&+&3D&+&4E&+&5F&+&6G&+&7H&+&8I&+&9X&=\\boxed{S_2}
\n\\end{array}\\\\
\n \\, \\, \\,
\n[\/tex]<\/span>
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{(ii)}\\\\
\n\\quad \\begin{array}{c}
\nS_2 \\, \\, \\end{array} \\begin{array}{|c}
\n \\, \\, 11 \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/span>
\n[tex]\\quad \\begin{array}{c}
\n \\, \\, r_2
\n\\end{array}\\begin{array}{c}
\n \\, \\, \\, \\, Q_2
\n\\end{array}\\\\
\n \\, \\,
\n[\/tex]
\n[tex]\\quad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]
\n[tex]\\quad[\/tex] Se [tex]r_2=10[\/tex], ent\u00e3o [tex]Y=0[\/tex]. Se [tex]r_2\\ne 10[\/tex], ent\u00e3o [tex]Y=r_2.[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\n(1)<\/strong><\/span> Definam sequ\u00eancias aleat\u00f3rias ABC.DEF.GHI <\/strong> de nove d\u00edgitos e comparem os d\u00edgitos verificadores X<\/strong> e Y<\/strong>, que definem as respectivas sequ\u00eancias ABC.DEF.GHI-XY<\/strong> que satisfazem as condi\u00e7\u00f5es impostas pela Receita Federal, fornecidos pelos dois algoritmos: o apresentado inicialmente e o definido nesta Sala. (Se necess\u00e1rio, utilizem a Maquineta 4<\/strong> disponibilizada logo abaixo.)<\/p>\n
(2)<\/strong><\/span> Com a ajuda de seus professores, tentem justificar matematicamente as conclus\u00f5es obtidas a partir das observa\u00e7\u00f5es feitas no item (1)<\/strong><\/span>. <\/p>\n<\/div>\n
\n
\nMaquineta para compara\u00e7\u00e3o dos algoritmos<\/p>\n
\n
\n \n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n Com esta maquineta ser\u00e1 poss\u00edvel comparar os d\u00edgitos verificadores fornecidos pelos dois algoritmos que apresentamos para qualquer sequ\u00eancia de nove d\u00edgitos.<\/span><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
\nMaquineta 4<\/strong><\/span><\/a>
\nOBMEP_ srdg<\/span>
\n A maquineta funciona adequadamente no Excel.<\/span><\/p>\n
\nObserva\u00e7\u00e3o:<\/strong>
\nAo abrir o arquivo, observe se a planilha est\u00e1 no Modo de Exibi\u00e7\u00e3o Protegido.
\nEm caso positivo, habilite a Edi\u00e7\u00e3o antes de usar a Maquineta.<\/p>\n
\n
\n<\/div>\n
\n
\n
- Segundo D\u00edgito Verificador ([tex]Y[\/tex])<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n
►<\/span> O segundo D\u00edgito Verificador ([tex]Y[\/tex]) \u00e9 calculado pela mesma regra, mas com uma diferen\u00e7a: os n\u00fameros a serem multiplicados pela sequ\u00eancia [tex]1,2,3,4,5,6,7,8[\/tex] e [tex]9[\/tex] s\u00e3o contados a partir do segundo algarismo, sendo [tex]X[\/tex] o \u00faltimo algarismo. Se [tex]r_2[\/tex] \u00e9 o resto da divis\u00e3o por [tex]11[\/tex] das somas das multiplica\u00e7\u00f5es efetuadas, ent\u00e3o:<\/p>\n
- – o d\u00edgito [tex]Y[\/tex] \u00e9 zero, se [tex]r_2=10[\/tex] e, caso contr\u00e1rio, [tex]Y=r_2[\/tex]. <\/ul>\n<\/div>\n
\n
Em s\u00edmbolos:<\/p>\n
- \n
- Primeiro D\u00edgito Verificador ([tex]X[\/tex])<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n
- C\u00e1lculo para o segundo D\u00edgito Verificador:<\/li>\n<\/ul>\n
- No c\u00e1lculo para o primeiro D\u00edgito Verificador ter\u00edamos:<\/li>\n<\/ul>\n
- Finaliza\u00e7\u00e3o:<\/strong> O CPF completo \u00e9 [tex]280.012.389-\\textcolor{red}{3}\\textcolor{blue}{8}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
- C\u00e1lculo para o segundo D\u00edgito Verificador:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n