{"id":128553,"date":"2019-06-05T23:25:30","date_gmt":"2019-06-06T02:25:30","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=128553"},"modified":"2024-06-12T20:08:05","modified_gmt":"2024-06-12T23:08:05","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-expoente-do-79","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-expoente-do-79\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Expoente do 79"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Qual \u00e9 o expoente de [tex]79[\/tex] na fatora\u00e7\u00e3o em primos do n\u00famero <\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{P=1 \\times 2 \\times 3 \\times \\, \\cdots \\, \\times 2018 \\times 2019}[\/tex],<\/p>\n

resultado do produto dos n\u00fameros inteiros de [tex]1[\/tex] a [tex]2019[\/tex]?
\nE qual o expoente de [tex]29[\/tex]?<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

►<\/span> Para determinar o expoente de [tex]79[\/tex] na fatora\u00e7\u00e3o em primos do n\u00famero [tex]P[\/tex], vamos inicialmente dividir [tex]2019[\/tex] por [tex]79[\/tex]:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n2019 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 79 \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, 44
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, \\, \\, 25
\n\\end{array}\\\\ \\, \\, [\/tex]
\nComo [tex]2019=25 \\times 79+44 \\, [\/tex], existem [tex]25[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]79[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2019[\/tex] e, portanto, o fator [tex]79[\/tex] aparecer\u00e1 pelo menos [tex]25[\/tex] vezes no produto [tex]P.[\/tex] <\/p>\n

\n[tex]P=1 \\times 2 \\times\\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 79 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{1}\\times 79 } \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 158 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{2}\\times 79} \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 237 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{3}\\times 79} \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 1975 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{25}\\times 79} \\times \\cdots \\times 2019
\n[\/tex]<\/p>\n

Por outro lado, [tex]79^2=6241[\/tex] e [tex]6241 \\gt 2019[\/tex]; assim, n\u00e3o h\u00e1 n\u00fameros que sejam m\u00faltiplos de pot\u00eancias de [tex]79[\/tex] com expoente maior do que [tex]1[\/tex] nos n\u00fameros de [tex]1[\/tex] a [tex]2019.[\/tex]
\nPortanto, o expoente de [tex]79[\/tex] no produto de [tex]1[\/tex] a [tex]2019[\/tex] \u00e9 igual a [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$25$} \\, .[\/tex]
\n\u00c9 bom lembrar que [tex]79[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo; assim, ele n\u00e3o vai aparecer na decomposi\u00e7\u00e3o como produto de outros n\u00fameros menores do que ele!<\/p>\n

\n

►<\/span> Para determinar o expoente de [tex]29[\/tex] na fatora\u00e7\u00e3o em primos do n\u00famero [tex]P[\/tex], vamos tamb\u00e9m fazer uma divis\u00e3o:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n2019 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 29 \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, 18
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, \\, \\, 69
\n\\end{array}\\\\ \\, \\, [\/tex]
\nComo [tex]2019=69 \\times 29+18 \\, [\/tex], existem [tex]69[\/tex] m\u00faltiplos de [tex]29[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2019[\/tex] e, portanto, o fator [tex]29[\/tex] aparecer\u00e1 pelo menos [tex]69[\/tex] vezes no produto [tex]P.[\/tex] <\/p>\n

\n[tex]P=1 \\times 2 \\times\\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 29 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{1}\\times 29 } \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 58 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{2}\\times 29} \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 87 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{3}\\times 29} \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 2001 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{69}\\times 29} \\times \\cdots \\times 2019
\n[\/tex]<\/p>\n

Neste caso, h\u00e1 m\u00faltiplos de [tex]29^2=841[\/tex] nos n\u00fameros de [tex]1[\/tex] a [tex]2019[\/tex] e esses m\u00faltiplos contribuem com mais fatores [tex]29[\/tex] na fatora\u00e7\u00e3o do produto [tex]P:[\/tex] cada m\u00faltiplo de [tex]841[\/tex] contribui com mais um fator [tex]29.[\/tex]
\nPara determinar quantos m\u00faltiplos de [tex]841[\/tex] h\u00e1 no produto [tex]P[\/tex], vamos fazer a divis\u00e3o de [tex]2019[\/tex] por [tex]841[\/tex].
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\n2019 \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, 841 \\, \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\n \\, \\, 337
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, \\, 2
\n\\end{array}\\\\ \\, \\, [\/tex]
\nComo [tex]2019=2 \\times 841+337[\/tex], conclu\u00edmos que existem dois m\u00faltiplos de [tex]841[\/tex] entre [tex]1[\/tex] e [tex]2019[\/tex] e portanto mais dois fatores [tex]29[\/tex] na fatora\u00e7\u00e3o de [tex]P.[\/tex]<\/p>\n

\n[tex]P=1 \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 29 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{1}\\times 29 } \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 58 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{2}\\times 29} \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 87 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{3}\\times 29} \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 841 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{\\boxed{29}}\\times 29} \\times \\cdots \\\\
\n\\qquad \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 1682 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{2 \\times \\boxed{29}}\\times 29} \\times \\cdots \\times \\underbrace{ \\, \\, 2001 \\, \\, }_{\\textcolor{red}{69}\\times 29} \\times \\cdots \\times 2019
\n[\/tex]<\/p>\n

Veja que [tex]29^3=24389[\/tex] e [tex]24389 \\gt 2019[\/tex]; assim, n\u00e3o h\u00e1 n\u00fameros que sejam m\u00faltiplos de pot\u00eancias de [tex]29[\/tex] com expoente maior do que [tex]2[\/tex] nos n\u00fameros de [tex]1[\/tex] a [tex]2019.[\/tex]
\nPelo exposto, o expoente de [tex]29[\/tex] no produto de [tex]1[\/tex] a [tex]2019[\/tex] \u00e9 igual a [tex] \\, 69+2=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$71$} \\, .[\/tex]
\nAqui tamb\u00e9m cabe lembrar que [tex]29[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo; ent\u00e3o, ele n\u00e3o vai aparecer na decomposi\u00e7\u00e3o como produto de outros n\u00fameros menores do que ele!<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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