{"id":128111,"date":"2019-06-05T23:25:04","date_gmt":"2019-06-06T02:25:04","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=128111"},"modified":"2024-06-12T20:05:23","modified_gmt":"2024-06-12T23:05:23","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-uma-area-colorida-de-um-circulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-uma-area-colorida-de-um-circulo\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Uma \u00e1rea colorida de um c\u00edrculo"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

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Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

(XVIII OPM<\/strong>, 1999 – Adaptado) A \u00e1rea do c\u00edrculo da figura abaixo mede [tex]40 \\, cm^2.[\/tex]
\nSe as medidas dos \u00e2ngulos [tex]A\\hat{O}B[\/tex] e [tex]C\\hat{O}D[\/tex] s\u00e3o respectivamente [tex]60^\\circ [\/tex] e [tex]30^\\circ[\/tex], determine a medida da \u00e1rea colorida do c\u00edrculo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1 <\/p>\n

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Podemos resolver este problema estabelecendo propor\u00e7\u00f5es entre \u201ca \u00e1rea total do c\u00edrculo\u201d (o todo) e \u201ccada regi\u00e3o colorida\u201d (as partes). O par\u00e2metro que utilizaremos \u00e9 a medida dos \u00e2ngulos que definem as tr\u00eas regi\u00f5es. As partes s\u00e3o definidas por \u00e2ngulos de [tex]30^\\circ [\/tex] e [tex]60^\\circ[\/tex], de acordo com os dados do problema, e o todo \u00e9 definido por um \u00e2ngulo de [tex]360^\\circ [\/tex], uma volta completa.
\nCom base nessa propor\u00e7\u00e3o, determinaremos as medidas das respectivas \u00e1reas das duas regi\u00f5es coloridas do c\u00edrculo resolvendo duas regrinhas de tr\u00eas simples.<\/p>\n\n\n
\u00c1rea verde: <\/strong>[tex]\\textcolor{#329865}{A_{v}}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\begin{array}{c c c}
\n \\qquad 40 \\, cm^2 & \\text{————–} & 360^\\circ \\qquad \\\\
\n \\qquad \\textcolor{#329865}{A_{v}} & \\text{————–} & 30^\\circ \\qquad \\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Dessa forma, obtemos que
\n[tex]\\quad \\textcolor{#329865}{A_{v}} \\times 360^\\circ= 40 \\times 30^\\circ[\/tex],
\ndonde:
\n [tex]\\quad \\textcolor{#329865}{A_{v}} =\\dfrac{ 40 \\times 30}{360}=\\dfrac{10}{3} \\, cm^2[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n

\u00c1rea lil\u00e1s: <\/strong>[tex]\\textcolor{#9A67C3}{A_l}[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\begin{array}{c c c}
\n \\quad 40 \\, cm^2 & \\text{————–} & 360^\\circ \\qquad \\\\
\n \\quad \\textcolor{#9A67C3}{A_{l}} & \\text{————–} & 60^\\circ \\qquad \\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Dessa forma, obtemos que
\n[tex]\\quad \\textcolor{#9A67C3}{A_l} \\times 360^\\circ= 40 \\times 60^\\circ[\/tex],
\ndonde:
\n [tex]\\quad \\textcolor{#9A67C3}{A_{l}} =\\dfrac{ 40 \\times 60}{360}=\\dfrac{40}{6}=\\dfrac{20}{3} \\, cm^2[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Portanto, a medida da \u00e1rea [tex]S[\/tex] da regi\u00e3o colorida do c\u00edrculo pode ser assim calculada:
\n[tex] \\qquad \\qquad S=\\textcolor{#329865}{A_{v}} + \\textcolor{#9A67C3}{A_l}=\\dfrac{10}{3}+\\dfrac{20}{3}=\\dfrac{30}{3}= \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10 \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 2 <\/p>\n

\nPodemos rotacionar as duas regi\u00f5es coloridas em torno do centro [tex]O[\/tex] do c\u00edrculo, sem sobrep\u00f4-las, de modo a obter uma regi\u00e3o que corresponde a um quarto do c\u00edrculo, j\u00e1 que ter\u00edamos um setor circular de [tex]90^\\circ.[\/tex]
\nAssim, a medida da \u00e1rea [tex]S[\/tex] da regi\u00e3o colorida \u00e9 dada por:
\n[tex] \\qquad \\qquad S=\\dfrac{40}{4}= \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10 \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n
\n
\n

Um applet para ajudar <\/p>\n

\n
\nVoc\u00ea pode rotacionar as duas regi\u00f5es coloridas para obter uma regi\u00e3o que corresponde a um quarto do c\u00edrculo utilizando o applet abaixo. <\/p>\n

\n

Instru\u00e7\u00f5es<\/strong>:
\n(1)<\/strong> Espere o aplicativo carregar completamente.
\n(2)<\/strong> Para fazer a rota\u00e7\u00e3o da regi\u00e3o colorida de verde, clique no ponto C<\/strong><\/span>, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento.
\n(3)<\/strong> Para fazer a rota\u00e7\u00e3o da regi\u00e3o colorida de lil\u00e1s, clique no ponto A<\/strong><\/span>, mantenha o mouse pressionado e fa\u00e7a o movimento.
\n(4)<\/strong> Para retornar \u00e0 posi\u00e7\u00e3o inicial, clique no centro das setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.<\/div>\n

\n