{"id":128057,"date":"2019-06-05T22:57:21","date_gmt":"2019-06-06T01:57:21","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=128057"},"modified":"2024-06-12T19:58:56","modified_gmt":"2024-06-12T22:58:56","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-desenho-desafiador","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-desenho-desafiador\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um desenho desafiador"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220312\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>(<strong>XX OPM<\/strong>, 2001 &#8211; Adaptado) No interior de um ret\u00e2ngulo, foram desenhados dois tri\u00e2ngulos e uma circunfer\u00eancia, conforme mostra a figura.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob308.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"404\" height=\"209\" class=\"aligncenter size-full wp-image-125992\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob308.png 404w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob308-300x155.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 404px) 100vw, 404px\" \/><\/p>\n<p>Sabendo que a circunfer\u00eancia tangencia os tr\u00eas segmentos nos quais se apoia, quanto mede a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nPara facilitar a solu\u00e7\u00e3o, vamos nomear o ret\u00e2ngulo de [tex]ABCD[\/tex], o centro da circunfer\u00eancia de [tex]O[\/tex], seu raio de [tex]r[\/tex] e os seus pontos de tang\u00eancia com rela\u00e7\u00e3o aos segmentos nos quais ela se apoia de [tex]F[\/tex], [tex]G[\/tex] e [tex]H[\/tex], conforme indica a figura abaixo.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_3.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"443\" height=\"222\" class=\"aligncenter size-full wp-image-128007\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_3.png 443w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_3-300x150.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 443px) 100vw, 443px\" \/><\/p>\n<p>A \u00e1rea  da regi\u00e3o colorida \u00e9 a soma de tr\u00eas \u00e1reas: as \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]AED[\/tex] e [tex]BEC[\/tex] e a \u00e1rea do c\u00edrculo de centro em [tex]O[\/tex] e raio [tex]r.[\/tex]<\/p>\n<p><span class=\"c3\">&#9658;<\/span> <strong> \u00c1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]AED[\/tex] e [tex]BEC[\/tex]<\/strong><br \/>\nAs \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos s\u00e3o iguais e podem ser calculadas sem muita complica\u00e7\u00e3o, j\u00e1 que os tri\u00e2ngulos em quest\u00e3o s\u00e3o tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos e, portanto, seus catetos podem ser considerados como base e altura. Assim:<\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li>[tex]A_{ADE}=A_{BEC}=\\dfrac{2 \\times 2}{2}=2 \\, cm^2 \\, .\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\">&#9658;<\/span> <strong> \u00c1rea do c\u00edrculo<\/strong><br \/>\nAqui teremos um pouco mais de trabalho&#8230;<\/p>\n<ul>\n<li> Observe, inicialmente, que [tex]H\\hat EG[\/tex] \u00e9 um \u00e2ngulo reto.<\/li>\n<p>Com efeito, note que os tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos [tex]AED[\/tex] e [tex]BEC[\/tex] s\u00e3o is\u00f3sceles; logo, os \u00e2ngulos das respectivas bases medem [tex]45^\\circ[\/tex] cada. Com isso, a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat EB[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{180^\\circ-45^\\circ-45^\\circ=90^\\circ} \\, .[\/tex]<\/p>\n<li> Observe tamb\u00e9m que o quadril\u00e1tero [tex]OGEH[\/tex] \u00e9 um quadrado.<\/li>\n<p>Com efeito, note que os \u00e2ngulos [tex]O\\hat GE[\/tex], [tex]G\\hat EH[\/tex] e [tex]E\\hat HO[\/tex] medem [tex]90^\\circ[\/tex] cada; logo, o quarto \u00e2ngulo interno do quadril\u00e1tero, [tex]H\\hat {O}G[\/tex], tamb\u00e9m mede [tex]90^\\circ[\/tex] e, portanto, o quadril\u00e1tero [tex]OGEH[\/tex] \u00e9 um ret\u00e2ngulo. Mas \u00e9 um ret\u00e2ngulo com dois lados adjacentes com o mesmo comprimento [tex]r[\/tex]; logo, \u00e9 um quadrado, de fato.<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_5.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"784\" height=\"226\" class=\"aligncenter size-full wp-image-128029\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_5.png 784w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_5-300x86.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_5-768x221.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 784px) 100vw, 784px\" \/><\/p>\n<p>Podemos ent\u00e3o fazer um desenho mais completo da figura fornecida pelo problema e obter o valor de [tex]r[\/tex], que permitir\u00e1 obtermos a \u00e1rea do c\u00edrculo que comp\u00f5e a regi\u00e3o colorida.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_6.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"447\" height=\"225\" class=\"aligncenter size-full wp-image-128035\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_6.png 447w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob308_6-300x151.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 447px) 100vw, 447px\" \/><\/p>\n<p>Vamos aplicar o Teorema de Pit\u00e1goras ao tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]OGE.[\/tex] Para isso, observe que o comprimento em [tex] \\, cm[\/tex] do segmento [tex]OE[\/tex], hipotenusa do tri\u00e2ngulo, \u00e9 [tex]2-r[\/tex] e assim:<br \/>\n[tex]\\qquad \\left(2-r\\right)^2=r^2+r^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad 4-4r+r^2=2r^2[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad r^2+4r-4=0. \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<br \/>\nResolvendo a equa\u00e7\u00e3o do segundo grau [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] obtemos que:<br \/>\n[tex]\\qquad r=\\dfrac{-4\\pm\\sqrt{16+16}}{2}=\\dfrac{-4\\pm\\sqrt{32}}{2}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad r=\\dfrac{-4\\pm 4\\sqrt{2}}{2}=-2\\pm 2\\sqrt{2}.[\/tex]<br \/>\nMas [tex]r[\/tex] \u00e9 o comprimento de um segmento e, portanto, maior do que zero. Assim, [tex]r= 2\\sqrt{2}-2 \\,  \\, cm.[\/tex]<br \/>\nDessa forma, a \u00e1rea do c\u00edrculo de centro em [tex]O[\/tex] e raio [tex]r[\/tex] \u00e9 <\/p>\n<ul>\n<ul>\n<li>[tex]A_{circ}=\\pi \\left( 2\\sqrt{2}-2 \\right)^2=\\pi \\left( 8-8\\sqrt{2}+4\\right)=\\pi \\left( 12-8\\sqrt{2}\\right) \\, cm^2.\\qquad \\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p><span class=\"c3\">&#9658;<\/span> <strong> \u00c1rea da regi\u00e3o colorida<\/strong><br \/>\nPor [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], temos que a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida pode ser assim calculada:<br \/>\n[tex]\\qquad A_{\\textcolor{#FF8C00}{ \\, colorida}}=A_{ADE}+A_{BEC}+A_{circ}[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad A_{\\textcolor{#FF8C00}{ \\, colorida}}=2+2+\\pi \\left( 12-8\\sqrt{2}\\right)[\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad A_{\\textcolor{#FF8C00}{ \\, colorida}}=4+\\pi \\left( 12-8\\sqrt{2}\\right).[\/tex]<\/p>\n<p>Portanto, a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \\, 4+\\pi \\left( 12-8\\sqrt{2}\\right) \\, cm^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Um-desenho-desafiador.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um desenho desafiador.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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