{"id":127910,"date":"2019-05-15T21:01:48","date_gmt":"2019-05-16T00:01:48","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=127910"},"modified":"2023-05-31T04:39:01","modified_gmt":"2023-05-31T07:39:01","slug":"problema-diferenca-entre-quadrados","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-diferenca-entre-quadrados\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Diferen\u00e7a entre quadrados"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Considere um n\u00famero inteiro positivo de quatro algarismos que \u00e9 um quadrado perfeito.<br \/>\nA partir desse n\u00famero, constr\u00f3i-se outro somando uma unidade ao seu algarismo das unidades, subtraindo uma unidade do algarismo das dezenas, somando uma unidade ao algarismo das centenas e subtraindo uma unidade do algarismo das unidades de milhar.<br \/>\nSe o n\u00famero que se obt\u00e9m tamb\u00e9m \u00e9 um quadrado perfeito, <strong>encontrar o n\u00famero original.<br \/>\nQuantos n\u00fameros satisfazem tais condi\u00e7\u00f5es?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"cb36 g1\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"91\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px;margin:10px\"> Lembretes<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> Fatora\u00e7\u00e3o da diferen\u00e7a de dois quadrados:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m^2-n^2=(m+n) \\cdot (m-n)}[\/tex], para todos [tex]m,n\\in\\mathbb{R}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"font-size:11px; text-align:right;\">\n(Para aprender um pouco mais, clique <strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=103292\" target=\"_blank\" >AQUI<\/a><\/strong>.)<\/p>\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span>Na solu\u00e7\u00e3o deste problema ser\u00e1 necess\u00e1rio saber determinar os divisores positivos de um dado n\u00famero natural. Se precisar relembrar esse assunto, acesse <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=58063\" title=\"Clique aqui.\" target=\"_blank\"><strong> esta Sala<\/strong><\/a>.\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Seja [tex]\\boxed{abcd=a\\cdot 10^3+b\\cdot 10^2+c\\cdot 10+d} \\, [\/tex] o n\u00famero inicial. Como esse n\u00famero \u00e9 um quadrado perfeito, existe um inteiro positivo [tex]m[\/tex] tal que<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]m^2=a\\cdot 10^3+b\\cdot 10^2+c\\cdot 10+d.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pelas hip\u00f3teses do problema, o segundo n\u00famero ser\u00e1 <\/p>\n<ul>\n<li>[tex]n^2=(a-1)\\cdot 10^3+(b+1)\\cdot 10^2+(c-1)\\cdot 10+(d+1).[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, note que:<br \/>\n[tex]\\;\\begin{align*}m^2-n^2&#038;=\\left[a\\cdot 10^3+b\\cdot 10^2+c\\cdot 10+d\\right]\\\\<br \/>\n&#038;\\quad -\\left[(a-1)\\cdot 10^3+(b+1)\\cdot 10^2+(c-1)\\cdot 10+(d+1)\\right] \\\\<br \/>\n&#038;= 10^3-10^2+10-1\\\\<br \/>\n&#038;=909\\\\&#038;=3^2\\cdot 101.\\end{align*}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Como [tex]m^2-n^2=3^2\\cdot 101[\/tex], o  <strong>Lembrete<\/strong> nos assegura que<br \/>\n[tex]\\qquad(m+n)\\cdot(m-n)=3^2\\cdot 101[\/tex],<br \/>\ne note, desde j\u00e1, que [tex]101[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo.<br \/>\nObserve que [tex]m+n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural e [tex]m-n[\/tex] \u00e9 com certeza um inteiro, mas pode ser natural ou um inteiro negativo. Por\u00e9m, como o produto [tex](m+n)\\cdot(m-n)[\/tex] resulta em um n\u00famero natural (positivo), [tex]m-n[\/tex] tamb\u00e9m deve ser positivo. Assim, [tex]m+n[\/tex] e [tex]m-n[\/tex] s\u00e3o divisores positivos de [tex]3^2\\cdot 101[\/tex].<br \/>\nSabemos que os divisores positivos de [tex]3^2\\cdot 101[\/tex] s\u00e3o [tex]1 \\, , \\, 3 \\, , \\, 9 \\, , \\, 101 \\, , \\, 303 \\, , \\, 909[\/tex]; mas como [tex]m+n\\gt m-n[\/tex], temos apenas tr\u00eas casos a serem considerados:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex] \\begin{cases}m+n = 909\\\\m-n = 1\\end{cases} \\,  [\/tex];  <\/li>\n<li>[tex] \\begin{cases}m+n = 303\\\\m-n = 3\\end{cases} \\,  [\/tex]; <\/li>\n<li>[tex] \\begin{cases}m+n = 101\\\\m-n = 9\\end{cases}  \\, [\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Nos dois primeiros casos, solucionando os respectivos sistemas obtemos [tex]m=455 [\/tex] e [tex]m=153[\/tex]. Mas, em ambos os casos, [tex]m^2[\/tex] teria mais de quatro d\u00edgitos ([tex]207 \\, 025[\/tex] e [tex]23 \\, 409[\/tex] respectivamente). J\u00e1 no terceiro sistema, obtemos [tex]m=55[\/tex] e [tex]n=46[\/tex] e esses valores s\u00e3o convenientes.<br \/>\nPortanto, o n\u00famero inicial \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m^2=3025$} \\, [\/tex] e  o segundo n\u00famero \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n^2=2116$} \\, [\/tex];  e essa \u00e9 \u00fanica solu\u00e7\u00e3o que satisfaz as condi\u00e7\u00f5es do problema.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Considere um n\u00famero inteiro positivo de quatro algarismos que \u00e9 um quadrado perfeito. A partir desse n\u00famero, constr\u00f3i-se outro somando uma unidade ao seu algarismo das unidades, subtraindo uma unidade do algarismo das dezenas, somando uma unidade ao algarismo das centenas e subtraindo uma unidade &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-diferenca-entre-quadrados\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":731,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-127910","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/127910","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/731"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=127910"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/127910\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":192477,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/127910\/revisions\/192477"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=127910"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}