{"id":127712,"date":"2019-05-12T00:50:54","date_gmt":"2019-05-12T03:50:54","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=127712"},"modified":"2024-06-10T21:54:56","modified_gmt":"2024-06-11T00:54:56","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-jogando-bilhar","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-jogando-bilhar\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Jogando bilhar"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\nO ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex] abaixo representa uma mesa de bilhar.
\nUma bola \u00e9 lan\u00e7ada do ponto [tex]P[\/tex], atinge o lado [tex]AB [\/tex] em [tex]Q[\/tex] e, em seguida, acerta o lado [tex]BC[\/tex] em [tex]R,[\/tex] definindo \u00e2ngulos de [tex]20^\\circ[\/tex], conforme mostra a figura. Finalmente a bola acerta o lado [tex]AD[\/tex] em [tex]S.[\/tex]<\/p>\n
\"\"

Figura n\u00e3o proporcional aos dados do problema.<\/p><\/div>\n

a)<\/strong> Calcule a medida dos \u00e2ngulos congruentes [tex]Q \\hat{R}B[\/tex] e [tex]C \\hat{R}S.[\/tex]
\nb)<\/strong> Calcule as medidas dos \u00e2ngulos [tex]P \\hat{Q}R[\/tex] e [tex]Q \\hat{R}S .[\/tex]
\nc)<\/strong> O que podemos afirmar sobre as retas [tex]PQ[\/tex] e [tex]RS[\/tex]?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembretes<\/p>\n

\n

(1)<\/strong><\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex].
\n(2)<\/strong><\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um pol\u00edgono convexo de [tex]n[\/tex] lados ([tex]n\\gt 2[\/tex]) \u00e9 dada por:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{S_{i_n}=\\left(n-2\\right)\\cdot 180^\\circ}.[\/tex]
\n(3)<\/strong><\/span> A congru\u00eancia de um par de \u00e2ngulos correspondentes definidos em duas retas intersectadas por uma transversal garante que essas duas retas s\u00e3o paralelas.<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n\"\"<\/p>\n

\na)<\/strong> Observando o tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]QRB[\/tex] obtemos a medida do \u00e2ngulo [tex]Q \\hat{R}B[\/tex] e consequentemente a do \u00e2ngulo [tex]C \\hat{R}S.[\/tex]
\nComo a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex], se [tex]\\theta[\/tex] \u00e9 a medida em graus do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{R}Q[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad 20^\\circ+90^\\circ+\\theta=180^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\theta=180^\\circ-20^\\circ-90^\\circ=70^\\circ.[\/tex]
\nPortanto, a medida dos \u00e2ngulos [tex]Q \\hat{R}B[\/tex] e [tex]C \\hat{R}S[\/tex] \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$70^\\circ$} \\, .[\/tex] <\/p>\n

\n

b)<\/strong> Os pontos [tex]A[\/tex], [tex]Q[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o colineares; logo, o \u00e2ngulo [tex]A\\hat{Q}B[\/tex] \u00e9 o que chamamos \u00e2ngulo raso, ou seja, um \u00e2ngulo cuja medida \u00e9 [tex]180^\\circ.[\/tex] Da mesma forma, a medida do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{R}C[\/tex] \u00e9 [tex]180^\\circ.[\/tex]<\/p>\n

\"\"

Figura n\u00e3o proporcional aos dados do problema.<\/p><\/div>\n

Assim, se [tex]\\alpha[\/tex] e [tex]\\beta[\/tex] forem as medidas em graus dos \u00e2ngulos [tex]P\\hat{Q}R[\/tex] e [tex]Q\\hat{R}S[\/tex], respectivamente, ent\u00e3o:<\/p>\n\n\n
\n[tex]\\qquad 20^\\circ+\\alpha+20^\\circ=180^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\alpha=180^\\circ-40^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\alpha=140^\\circ.[\/tex]<\/td>\n		\n[tex]\\qquad 70^\\circ+\\beta+70^\\circ=180^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\beta=180^\\circ-140^\\circ[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\beta=40^\\circ.[\/tex]\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Logo, as medidas dos \u00e2ngulos [tex]P \\hat{Q}R[\/tex] e [tex]Q \\hat{R}S [\/tex] s\u00e3o, respectivamente, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$140^\\circ$} \\, [\/tex] e [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$40^\\circ$} \\, .[\/tex] <\/p>\n

\n

c)<\/strong> Observe que a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{P}Q[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m [tex]70^\\circ[\/tex]. Assim, como os \u00e2ngulos [tex]A\\hat{P}Q[\/tex] e [tex]S\\hat{P}Q[\/tex] s\u00e3o suplementares, segue que a medida de [tex]S\\hat{P}Q[\/tex] \u00e9 [tex]180^\\circ-70^\\circ=\\boxed{\\textcolor{#FF00FF}{110^\\circ}}.[\/tex]
\nPelo Lembrete (2)<\/strong><\/span>, a soma dos \u00e2ngulos internos do quadril\u00e1tero convexo [tex]PQRS[\/tex] \u00e9
\n [tex]\\qquad S_{i_4}=\\left(4-2\\right)\\cdot 180^\\circ=360^\\circ[\/tex].
\nAssim, a medida do \u00e2ngulo [tex]P\\hat{S}R[\/tex] \u00e9
\n[tex]\\qquad 360^\\circ-110^\\circ-140^\\circ-40^\\circ= \\, \\boxed{\\textcolor{#3BB9FF}{70^\\circ}} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\"\"

Figura n\u00e3o proporcional aos dados do problema.<\/p><\/div>\n

Finalmente, observe que os \u00e2ngulos [tex]A\\hat{P}Q[\/tex] e [tex]P\\hat{S}R[\/tex] s\u00e3o \u00e2ngulos correspondentes congruentes definidos pela reta transversal [tex]AD[\/tex] a partir das retas [tex]PQ[\/tex] e [tex]RS[\/tex]. Dessa forma, pelo Lembrete (3)<\/strong><\/span>, as retas [tex]PQ[\/tex] e [tex]RS[\/tex] s\u00e3o paralelas<\/strong>.
\nCom isso, o tra\u00e7ado correto dessas duas retas \u00e9 o mostrado na figura abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-127712","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/127712","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=127712"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/127712\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220221,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/127712\/revisions\/220221"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=127712"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}