{"id":127705,"date":"2019-05-12T00:34:14","date_gmt":"2019-05-12T03:34:14","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=127705"},"modified":"2024-06-10T21:50:36","modified_gmt":"2024-06-11T00:50:36","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-enrolando-uma-bobina","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-enrolando-uma-bobina\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Enrolando uma bobina"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Uma bobina com di\u00e2metro interno de [tex]12\\, \\text{cm}[\/tex] ficou com um di\u00e2metro externo (m\u00e1ximo) de [tex]20\\, \\text{cm}[\/tex], depois que nela foi enrolada uma longa faixa de papel com espessura de [tex]0,01\\, \\text{cm}[\/tex], para produzir um "rolo de papel-toalha<\/em>". <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Qual \u00e9 o comprimento da faixa de papel que foi enrolada?<\/strong><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Ajuda <\/p>\n

\n

A soma dos [tex]t[\/tex] primeiros n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos \u00e9 dada por
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{1+2+3+ \\cdots+t=\\dfrac{(1+t)\\cdot t}{2}}[\/tex]. (Se precisar, visite esta p\u00e1gina<\/a><\/strong>.)<\/span>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

A bobina tem um di\u00e2metro interno de [tex]12\\, \\text{cm}[\/tex] e um di\u00e2metro externo m\u00e1ximo de [tex]20\\, \\text{cm}[\/tex]. Assim, quando vista de lado, a espessura da faixa de papel enrolada na bobina \u00e9 de [tex]\\dfrac{20}{2}-\\dfrac{12}{2}=4\\, \\text{cm}[\/tex], conforme podemos visualizar na figura a seguir.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

A partir da espessura de [tex]0,01\\, \\text{cm}[\/tex] do papel, precisamos calcular quantas voltas foram dadas no "tubo interno " da bobina para que o "tubo" resultante do papel enrolado tenha a espessura de [tex]4\\, \\text{cm}.[\/tex] Olhando a base do tubo de papel de frente, \u00e9 como se abr\u00edssemos um anel de papel, conseguindo um trap\u00e9zio de altura [tex]4\\, \\text{cm}[\/tex], formado por v\u00e1rias camadas: cada camada corresponde a uma volta do papel na bobina.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n

Indicando o n\u00famero de voltas que produz a espessura de [tex]4\\, \\text{cm}[\/tex] por [tex]n[\/tex], vamos fazer os c\u00e1lculos utilizando uma regra de tr\u00eas:<\/p>\n

\n[tex] \\begin{array}{c c c}
\n\\text{espessura}&\\text{————–}&\\text{voltas ou camadas}\\\\
\n0,01\\, \\text{cm}&\\text{————–}&1\\\\
\n4\\, \\text{cm}&\\text{————–}& n
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Assim,
\n[tex]\\qquad 4 \\times 1=0,01 \\times n \\\\
\n\\qquad n=\\dfrac{4}{0,01}=400 \\text{ voltas ou camadas}.[\/tex]
\nAgora, para calcular o comprimento da faixa de papel que foi enrolada, imagine que voc\u00ea pegou faixa de papel de espessura [tex]0,01\\, \\text{cm}[\/tex] e foi enrolando em um cilindro de raio [tex]6\\, \\text{cm}[\/tex] at\u00e9 completar [tex]400[\/tex] voltas o que resultou em tubo de papel de espessura [tex]4\\, \\text{cm}[\/tex]. Assim, o comprimento total da faixa de papel \u00e9 a soma do comprimento de cada uma das [tex]400[\/tex] voltas que foram dadas.
\nMas \u00e9 importante voc\u00ea perceber que cada volta tem um raio diferente: \u00e9 o raio da volta anterior, acrescido dos [tex]0,01\\, \\text{cm}[\/tex] de espessura do papel. Veja:<\/p>\n

\n[tex] \\begin{array}{c c l}
\n\\text{volta}&\\, \\, \\, &\\text{raio}\\\\
\n\\hline
\n1 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &6 \\text{( raio interno da bobina)}\\\\
\n2 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &6+0,01=6,01=(6+\\frac{1}{100})\\\\
\n3 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &6,01+0,01=6,02 =(6+\\frac{2}{100})\\\\
\n4 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &6,02+0,01=6,03 =(6+\\frac{3}{100})\\\\
\n\\vdots &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &\\vdots\\\\
\n100 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &6,99 =(6+\\frac{99}{100})\\\\
\n\\vdots &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &\\vdots\\\\
\n200 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &7,99 =(6+\\frac{199}{100})\\\\
\n\\vdots &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &\\vdots\\\\
\n300 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &8,99 =(6+\\frac{299}{100})\\\\
\n\\vdots &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &\\vdots\\\\
\n399 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &9,98 =(6+\\frac{398}{100})\\\\
\n400 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &9,99 =(6+\\frac{399}{100})\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Conhecido o raio de cada volta, podemos calcular o comprimento da faixa de papel nela utilizado: o comprimento da faixa de papel em cada volta ser\u00e1 o comprimento da circunfer\u00eancia com o raio dessa volta. Lembrando que o comprimento de uma circunfer\u00eancia de raio [tex]r[\/tex] \u00e9 [tex]\\boxed{2\\cdot \\pi \\cdot r}[\/tex], podemos obter o comprimento em cada volta.<\/p>\n

\n[tex] \\begin{array}{c c l}
\n\\text{volta}&\\, \\, \\, &\\text{comprimento em cm}\\\\
\n\\hline
\n1 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &2\\cdot \\pi \\cdot 6\\\\
\n2 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{1}{100}\\right)\\\\
\n3 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{2}{100}\\right)\\\\
\n4 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{3}{100}\\right)\\\\
\n5 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{4}{100}\\right)\\\\
\n\\vdots &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, &\\vdots\\\\
\n399 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, & 2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{398}{100}\\right)\\\\
\n400 &\\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, & 2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{399}{100}\\right)\\\\
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Finalmente, vamos somar todos os comprimentos das voltas para determinarmos o comprimento total [tex]C_t[\/tex] da faixa de papel que foi enrolada.
\n[tex]\\qquad C_t=2\\cdot \\pi \\cdot 6+2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{1}{100}\\right)+2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{2}{100}\\right)+2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{3}{100}\\right)+\\\\
\n\\qquad \\qquad+2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{4}{100}\\right)+\\cdots+2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+\\frac{399}{100}\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad C_t=2\\cdot \\pi \\cdot \\left(6+ \\left(6+\\frac{1}{100}\\right)+\\left(6+\\frac{2}{100}\\right)+\\left(6+\\frac{3}{100}\\right)+\\\\
\n\\qquad \\qquad +\\left(6+\\frac{4}{100}\\right)+\\cdots+\\left(6+\\frac{399}{100}\\right)\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad C_t=2\\cdot \\pi \\cdot \\left(400 \\cdot 6+ \\left(\\frac{1}{100}+\\frac{2}{100}+\\frac{3}{100}+\\frac{4}{100}+\\cdots+\\frac{399}{100}\\right)\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad C_t=2\\cdot \\pi \\cdot \\left(2400 +\\dfrac{1}{100}\\cdot \\left(1+2+3+4+\\cdots+399\\right)\\right).[\/tex]
\nPela f\u00f3rmula do Lembrete,
\n[tex]\\qquad 1+2+3+4+\\cdots+399=\\dfrac{(1+399)\\cdot 399}{2}=79800[\/tex],
\nlogo:
\n[tex]\\qquad C_t=2\\cdot \\pi \\cdot \\left(2400 +\\dfrac{1}{100}\\cdot 79800\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad C_t=2\\cdot \\pi \\cdot \\left(2400 + 798\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad C_t=2\\cdot \\pi \\cdot 3198[\/tex]
\n[tex]\\qquad C_t=6396\\cdot \\pi.[\/tex] <\/p>\n

\n

Portanto, o comprimento da faixa de papel que foi enrolada \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6396 \\pi\\, \\text{cm}$}\\, [\/tex] ou aproximadamente [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$20\\, 083\\, \\text{cm}$}\\, .[\/tex]
\nO esquema de convers\u00e3o abaixo permite concluir que o comprimento da faixa de papel \u00e9 aproximadamente [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$201 \\text{ metros}$}.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil) Uma bobina com di\u00e2metro interno de [tex]12\\, \\text{cm}[\/tex] ficou com um di\u00e2metro externo (m\u00e1ximo) de [tex]20\\, \\text{cm}[\/tex], depois que nela foi enrolada uma longa faixa de papel com espessura de [tex]0,01\\, \\text{cm}[\/tex], para … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-127705","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/127705","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=127705"}],"version-history":[{"count":26,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/127705\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220218,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/127705\/revisions\/220218"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=127705"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}