{"id":127695,"date":"2019-05-12T00:14:28","date_gmt":"2019-05-12T03:14:28","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=127695"},"modified":"2024-06-10T21:36:13","modified_gmt":"2024-06-11T00:36:13","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-primos-entre-si-um-desafio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-primos-entre-si-um-desafio\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Primos entre si &#8211; um desafio"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220213\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Dois n\u00fameros naturais s\u00e3o ditos <strong>primos entre si<\/strong> se o m\u00e1ximo divisor comum entre eles ([tex]mdc[\/tex]) for [tex]1[\/tex].<br \/>\nQuantos s\u00e3o os pares ordenados [tex](a,b)[\/tex] formados  por n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos [tex]a[\/tex]  e [tex]b[\/tex], primos entre si, tais que [tex]a+b=1000 \\, [\/tex]?<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nSeja [tex]a[\/tex] um n\u00famero natural n\u00e3o nulo menor do que [tex]1000[\/tex]. <\/p>\n<div style=\"margin:20px;\">\n[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Observe, inicialmente, que se [tex]a+b=1000 \\, [\/tex], ent\u00e3o [tex]b=1000-a[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero natural.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Se [tex]a+b=1000 \\, [\/tex], observe tamb\u00e9m que:<\/p>\n<div style=\"margin-left:30px;\">\n<p>Se [tex]a[\/tex] for um n\u00famero par, ent\u00e3o [tex]b[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 um n\u00famero par.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"b1\" value=\"Justificativa\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Justificativa';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none; text-align:justify\">\n<ul>\nCom efeito, se <strong>[tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par<\/strong>, ent\u00e3o [tex]a=2k_1[\/tex], para algum n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]k_1[\/tex], [tex]k_1\\lt 500[\/tex]. Dessa forma, temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad b=1000-2k_1=2(500-k_1).[\/tex]<br \/>\nSe [tex]t_1=500-k_1[\/tex], ent\u00e3o [tex]b=2t_1[\/tex], com [tex]t_1 \\in \\mathbb{N}[\/tex], e assim conclu\u00edmos que <strong>[tex]b[\/tex] \u00e9 par<\/strong>.<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Se [tex]a[\/tex] for um m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex] ent\u00e3o [tex]b[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex].<\/strong><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"b1\" value=\"Justificativa\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Justificativa';}\" \/>    <\/p>\n<div  style=\"display: none; text-align:justify\">\n<ul> Com efeito, se <strong>[tex]a[\/tex] \u00e9 um n\u00famero m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex]<\/strong>, ent\u00e3o [tex]a=5k_2[\/tex], para algum n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]k_2[\/tex], [tex]k_2\\lt 200[\/tex]. Dessa forma, temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad b=1000-5k_2=5(200-k_2).[\/tex]<br \/>\nSe [tex]t_2=200-k_2[\/tex], ent\u00e3o [tex]b=5t_2[\/tex], com [tex]t_2 \\in \\mathbb{N}[\/tex], e assim conclu\u00edmos que <strong>[tex]b[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex]<\/strong>.<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<p>Dessa forma:<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"padding-left:30px;\">&#9658;<\/span> Se [tex]a[\/tex] for par, ent\u00e3o [tex]b[\/tex] \u00e9 par e, portanto, [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o primos entre si.<br \/>\n<span class=\"c3\" style=\"padding-left:30px;\">&#9658;<\/span>  Se [tex]a[\/tex] for m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex], ent\u00e3o [tex]b[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex] e, portanto, [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00e3o s\u00e3o primos entre si.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] Al\u00e9m de [tex]a+b=1000 \\, [\/tex], suponhamos agora que [tex]a[\/tex] n\u00e3o seja par e nem um  m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex] e que [tex]d[\/tex] seja um divisor comum de [tex]a[\/tex] e de [tex]b.[\/tex]<br \/>\nSendo divisor de  [tex]a[\/tex] e de [tex]b[\/tex], necessariamente [tex]d[\/tex] \u00e9 um divisor de [tex]1000[\/tex] e [tex]1000=2^3 \\times 5^3[\/tex]. Mas os divisores de [tex]d[\/tex] s\u00e3o divisores de [tex]a[\/tex] e como [tex]a[\/tex] n\u00e3o \u00e9 par e nem m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex], conclu\u00edmos que s\u00f3 existe uma op\u00e7\u00e3o para [tex]d[\/tex]: [tex]d=1[\/tex]; e, portanto, [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o primos entre si.\n<\/p><\/div>\n<p><strong>Perceba que, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], conseguimos uma maneira indireta de contarmos as solu\u00e7\u00f5es do problema, pois o n\u00famero de pares [tex](a,b)[\/tex] de n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos, primos entre si, tais que [tex]a+b = 1000[\/tex] \u00e9 a quantidade de n\u00fameros naturais [tex]a[\/tex], [tex]0 \\lt a \\lt 1000[\/tex], tais que [tex]a[\/tex] n\u00e3o \u00e9 par nem m\u00faltiplo de [tex]5.[\/tex] <\/strong><\/p>\n<p class=\"ti1 c3\"> Vamos ent\u00e3o \u00e0 contagem.<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob307_1.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"714\" height=\"74\" class=\"aligncenter size-full wp-image-127692\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob307_1.png 714w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob307_1-300x31.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 714px) 100vw, 714px\" \/><\/p>\n<p>De [tex]1[\/tex] a [tex]999[\/tex]:<\/p>\n<ul>\n<li> existem [tex]999[\/tex] n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos; <\/li>\n<li> existem  [tex]499[\/tex] n\u00fameros pares; <\/li>\n<li> dos [tex]500[\/tex] n\u00fameros \u00edmpares restantes, um quinto s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]5[\/tex]: [tex]100[\/tex] n\u00fameros.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Logo, a quantidade de pares [tex](a, b)[\/tex] de n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos primos entre si tais que [tex]a + b = 1000[\/tex] \u00e9:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad  \\, 999 \u2212 499 &#8211; 100 =  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \\, 400 \\, $} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Primos-entre-si-\u2013-um-desafio.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Primos entre si \u2013 um desafio.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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