Problema (Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica Espanhola, 2014<\/strong> – Adaptado) Lila gosta muito de brincar com formas geom\u00e9tricas e n\u00fameros. Sabendo disso, seu pai lhe prop\u00f4s dois desafios: Lila conseguir\u00e1 cumprir os dois desafios?<\/strong><\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Independentemente da ordem em que foram distribu\u00eddos, perceba que \n ►<\/span> Desafio 1<\/strong> Neste caso, temos as seguintes somas parciais:<\/p>\n todas, no m\u00e1ximo, iguais a [tex]13.[\/tex] \n►<\/span> Portanto, Lila N\u00c3O<\/strong> conseguir\u00e1 cumprir o Desafio 1<\/strong>.<\/p>\n \n ►<\/span> Desafio 2<\/strong> temos que Vamos testar a primeira sequ\u00eancia, determinando todas as poss\u00edveis somas de grupos de tr\u00eas n\u00fameros colocados sucessivamente.<\/p>\n [tex]\\qquad \\boxed{3+8+1=12} \\, , \\, \\boxed{5+9+0=14} \\, , \\, \\boxed{6+7+2=15} \\, , \\, \\boxed{4+3+8=15} \\\\ Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) (Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica Espanhola, 2014 – Adaptado) Lila gosta muito de brincar com formas geom\u00e9tricas e n\u00fameros. Sabendo disso, seu pai lhe prop\u00f4s dois desafios: Distribuir os n\u00fameros [tex]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9[\/tex] sobre uma circunfer\u00eancia, de modo que a soma de quaisquer tr\u00eas n\u00fameros colocados sucessivamente seja, Desafio … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\n Distribuir os n\u00fameros [tex]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9[\/tex] sobre uma circunfer\u00eancia, de modo que a soma de quaisquer tr\u00eas n\u00fameros colocados sucessivamente seja, <\/p>\n\n
\nVamos supor que os dez n\u00fameros [tex]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9[\/tex] sejam distribu\u00eddos sobre uma circunfer\u00eancia conforme mostra a figura a seguir, na qual representamos os n\u00fameros n\u00e3o nulos pelas letras [tex]a,b,c,d,e,f,g,h,i.[\/tex]
\nFeita a distribui\u00e7\u00e3o dos dez n\u00fameros, vamos cortar a circunfer\u00eancia na marca do [tex]0[\/tex] e estic\u00e1-la.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob301.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\quad a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+3+4+5+6+7+8+9\\\\
\n\\quad a+b+c+d+e+f+g+h+i=45, \\quad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nj\u00e1 que a adi\u00e7\u00e3o \u00e9 uma opera\u00e7\u00e3o comutativa.<\/p>\n
\nSe os n\u00fameros foram distribu\u00eddos de modo que a soma de quaisquer tr\u00eas n\u00fameros colocados sucessivamente seja, no m\u00e1ximo, [tex]13[\/tex], particularmente podemos considerar os seguintes grupos de tr\u00eas n\u00fameros sucessivos:<\/p>\n\n
\n
\nDessa forma,
\n[tex]\\qquad \\boxed{a+b+c \\leqslant 13} \\, ; \\, \\boxed{d+e+f\\leqslant 13} \\, ; \\, \\boxed{g+h+i \\leqslant 13}[\/tex],
\ne, ent\u00e3o
\n[tex]\\quad a+b+c+d+e+f+g+h+i=(a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)\\\\
\n\\quad a+b+c+d+e+f+g+h+i \\leqslant 13+13+13=39.[\/tex]
\nCom isso, temos
\n[tex]\\qquad a+b+c+d+e+f+g+h+i \\leqslant 39[\/tex],
\n o que contraria a conclus\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}.[\/tex] <\/p>\n
\nSe os n\u00fameros foram distribu\u00eddos de modo que a soma de quaisquer tr\u00eas n\u00fameros colocados sucessivamente seja, no m\u00e1ximo, [tex]15[\/tex], para os grupos gen\u00e9ricos <\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad \\boxed{a+b+c \\leqslant 15} \\, ; \\, \\boxed{d+e+f\\leqslant 15} \\, ; \\, \\boxed{g+h+i \\leqslant 15}[\/tex],
\ne, agora
\n[tex]\\qquad a+b+c+d+e+f+g+h+i=(a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)\\\\
\n\\qquad a+b+c+d+e+f+g+h+i \\leqslant 15+15+15=45\\,,[\/tex]
\nlogo
\n[tex]\\qquad a+b+c+d+e+f+g+h+i \\leqslant 45.[\/tex]
\nMas isso n\u00e3o significa que exista tal distribui\u00e7\u00e3o, necessariamente; precisamos exibir efetivamente uma distribui\u00e7\u00e3o na qual a soma de quaisquer <\/strong> tr\u00eas n\u00fameros colocados sucessivamente na circunfer\u00eancia seja, no m\u00e1ximo, [tex]15.[\/tex]
\nSeguem tr\u00eas sequ\u00eancias, que quando colocadas sobre uma circunfer\u00eancia satisfazem a condi\u00e7\u00e3o requerida: <\/p>\n►<\/span> [tex] \\, 3 \\, – \\, 8 \\, – \\, 1 \\, – \\, 5 \\, – \\, 9 \\, – \\, 0 \\, – \\, 6 \\, – \\, 7 \\, – \\, 2 \\, – \\, 4[\/tex];
\n►<\/span> [tex] \\, 0 \\, – \\, 9 \\, – \\, 5 \\, – \\, 1 \\, – \\, 8 \\, – \\, 4 \\, – \\, 3 \\, – \\, 2 \\, – \\, 7 \\, – \\, 6 [\/tex];
\n►<\/span> [tex] \\, 7 \\, – \\, 2 \\, – \\, 4 \\, – \\, 9 \\, – \\, 0 \\, – \\, 6 \\, – \\, 8 \\, – \\, 1 \\, – \\, 5 \\, – \\, 3[\/tex].<\/ul>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/prob301_1-1.png\")
<\/p>\n
\n\\qquad \\boxed{1+5+9=15} \\, , \\, \\boxed{0+6+7=13} \\, , \\, \\boxed{2+4+3=9} \\, \\, \\, , \\, \\boxed{8+1+5=14} \\\\
\n\\qquad \\boxed{9+0+6=15} \\, , \\, \\boxed{7+2+4=13} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n