\n
Problema Fixado um n\u00famero inteiro [tex]n[\/tex], [tex]n\\gt 1[\/tex], vamos associar a qualquer n\u00famero natural [tex]a[\/tex] o s\u00edmbolo [tex]\\bar{a}[\/tex] para representar o resto da sua divis\u00e3o por [tex]n[\/tex]. Como todos os poss\u00edveis restos de uma divis\u00e3o por [tex]n[\/tex] s\u00e3o os n\u00fameros [tex]0,1,2, \\cdots, n-1[\/tex], o s\u00edmbolo [tex]\\bar{a}[\/tex] associado ao n\u00famero natural [tex]a[\/tex] ser\u00e1 um dos seguintes: [tex]\\overline{0}, \\overline{1}, \\overline{2}, \\overline{3},\\cdots,\\overline{n-1}[\/tex]. \u00c9 importante notar que, dados dois n\u00fameros inteiros [tex]a[\/tex] e [tex] b[\/tex]:<\/p>\n Essa afirma\u00e7\u00e3o, na pr\u00e1tica, nos garante duas propriedades:<\/p>\n e<\/p>\n Fixado um n\u00famero inteiro [tex]n[\/tex], [tex]n\\gt 1[\/tex], podemos formar o seguinte conjunto [tex]\\mathbb{Z}_n=\\{\\bar{0}, \\bar{1}, \\bar{2}, \\bar{3},\\cdots,\\overline{n-1}\\}[\/tex] e nesse conjunto podemos definir a seguinte opera\u00e7\u00e3o:<\/p>\n \n[tex]\\bar{a}+\\bar{b}=\\overline{a+b}, \\forall \\;\\bar{a}, \\bar{b}\\in \\mathbb{Z}_n.\\hspace{3cm} \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n Fixando [tex]n=8[\/tex], temos que [tex]\\mathbb{Z}_8=\\{\\bar{0}, \\bar{1}, \\bar{2}, \\bar{3},\\bar{4}, \\bar{5}, \\bar{6}, \\bar{7}\\}[\/tex]. Nesse conjunto, por exemplo: Essas defini\u00e7\u00f5es e propriedades s\u00e3o o in\u00edcio de uma teoria da Matem\u00e1tica, conhecida como aritm\u00e9tica dos restos<\/em><\/strong>, que \u00e9 muito importante e bastante utilizada em diversos problemas de Aritm\u00e9tica e de Teoria dos N\u00fameros.<\/p>\n Utilizando a opera\u00e7\u00e3o definida em [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], calcule, em [tex]\\mathbb{Z}_8[\/tex]: \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n \n (b)<\/strong> Da defini\u00e7\u00e3o [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que [tex]\\bar{4}+\\bar{7}=\\overline{4+7}=\\overline{11}.[\/tex] segue que [tex]\\overline{11}=\\bar{3}[\/tex] e, portanto, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \\, \\overline{4}+\\overline{7}=\\overline{3} \\, $} \\, .[\/tex]<\/p>\n \n (c)<\/strong> Devemos encontrar [tex]\\bar{x} \\in \\mathbb{Z}[\/tex] tal que [tex]\\bar{x}+\\bar{5}=\\bar{0}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Fixado um n\u00famero inteiro [tex]n[\/tex], [tex]n\\gt 1[\/tex], vamos associar a qualquer n\u00famero natural [tex]a[\/tex] o s\u00edmbolo [tex]\\bar{a}[\/tex] para representar o resto da sua divis\u00e3o por [tex]n[\/tex]. Como todos os poss\u00edveis restos de uma divis\u00e3o por [tex]n[\/tex] s\u00e3o os n\u00fameros [tex]0,1,2, \\cdots, n-1[\/tex], o s\u00edmbolo [tex]\\bar{a}[\/tex] … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nPor exemplo, para [tex]n=4[\/tex], utilizamos os s\u00edmbolos [tex]\\bar{0}, \\bar{1}, \\bar{2}, \\bar{3}[\/tex] para fazermos as associa\u00e7\u00f5es; vejam algumas:<\/p>\n\n
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\n
\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\bar{1}+\\bar{7}=\\overline{1+6}=\\bar{7}[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\qquad \\bar{2}+\\bar{4}=\\overline{2+4}=\\bar{6}[\/tex];
\nmas
\n[tex]\\qquad \\qquad \\bar{6}+\\bar{7}=\\overline{6+7}=\\overline{13}=\\bar{5}[\/tex],
\npois [tex] \\, 13 \\gt 8[\/tex] e o resto da divis\u00e3o de [tex]13[\/tex] por [tex]8[\/tex] \u00e9 [tex]5[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\qquad \\bar{5}+\\bar{5}=\\overline{5+5}=\\overline{10}=\\bar{2}[\/tex],
\npois [tex] \\, 10 \\gt 8[\/tex] e o resto da divis\u00e3o de [tex]10[\/tex] por [tex]8[\/tex] \u00e9 [tex]2[\/tex].<\/p>\n
\n
\n
\n(a)<\/strong> [tex]\\bar{1}+\\bar{2}[\/tex];
\n(b)<\/strong> [tex]\\bar{4}+\\bar{7}[\/tex];
\n(c)<\/strong> [tex]\\bar{x} \\in \\mathbb{Z}[\/tex] tal que [tex]\\bar{x}+\\bar{5}=\\bar{0}[\/tex].<\/p>\n
\n(a)<\/strong> Da defini\u00e7\u00e3o [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\bar{1}+\\bar{2}=\\overline{1+2}=\\bar{3}[\/tex].
\nComo [tex]3 \\lt 8[\/tex], segue que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \\, \\overline{1}+\\overline{2}=\\overline{3} \\, $} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\nObservemos que, para encontrar o elemento de [tex]\\mathbb{Z}_8[\/tex] correspondente a [tex]\\overline{11}[\/tex], devemos utilizar o algoritmo da divis\u00e3o e encontrar o resto da divis\u00e3o de [tex]11[\/tex] por [tex]8[\/tex].
\nComo<\/p>\n\n
\n [tex]11[\/tex] <\/td>\n [tex]8[\/tex] <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n \n [tex]3[\/tex] <\/td>\n [tex]1[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\nNote que, de [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], segue que
\n[tex]\\qquad \\bar{0}=\\bar{x}+\\bar{5}=\\overline{x+5}[\/tex];
\nassim, sendo [tex]\\overline{x+5}=\\bar{0}[\/tex], segue da defini\u00e7\u00e3o inicial que [tex]x+5[\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]8.[\/tex]
\nAnalisando todos os elementos de [tex]\\mathbb{Z}_8[\/tex] obtemos que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \\, \\bar{x}=\\bar{3}$} \\, .[\/tex] De fato, veja que:
\n[tex]\\qquad \\bar{3}+\\bar{5}\\stackrel{\\textcolor{#800000}{(i)}}{=}\\overline{3+5}=\\bar{8}=\\bar{0}.[\/tex]<\/p>\n
\n