{"id":127134,"date":"2019-05-10T22:01:27","date_gmt":"2019-05-11T01:01:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=127134"},"modified":"2024-06-10T21:17:24","modified_gmt":"2024-06-11T00:17:24","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-um-teste","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-um-teste\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Um teste"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220189\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>O professor Renato aplicou um teste com [tex] 60[\/tex] quest\u00f5es e atribuiu <span style=\"color:#00BF00\"><strong>[tex](3)[\/tex] pontos para cada resposta correta<\/strong> <\/span> e  <span style=\"color:#FF0000\"><strong>[tex] (-1) [\/tex] para cada resposta errada<\/strong><\/span>.<br \/>\nO n\u00famero de acertos da aluna Mari foi igual ao n\u00famero de erros do aluno Jos\u00e9 e o n\u00famero de acertos de Jos\u00e9 foi igual ao n\u00famero de erros da Mari.  Ambos responderam as [tex]60[\/tex] quest\u00f5es e Mari obteve o dobro da pontua\u00e7\u00e3o de Jos\u00e9.<\/p>\n<p><strong>Qual a pontua\u00e7\u00e3o da Mari? E a do Jos\u00e9?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Sejam [tex]m[\/tex] o n\u00famero de acertos da Mari e [tex]n[\/tex] o n\u00famero de acertos do Jos\u00e9.<br \/>\nAssim, pelos dados do problema, no teste aplicado pelo professor Renato:<\/p>\n<ul>\n<li> a Mari acertou [tex]m[\/tex] quest\u00f5es e errou [tex]n[\/tex] e sua pontua\u00e7\u00e3o foi [tex]\\boxed{M=3m-n}[\/tex];<\/li>\n<li> o Jos\u00e9 acertou [tex]n[\/tex] quest\u00f5es e errou [tex]m[\/tex] e  sua pontua\u00e7\u00e3o foi [tex]\\boxed{J=3n-m}.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dessa forma, como a Mari obteve o dobro da pontua\u00e7\u00e3o de Jos\u00e9, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad M=2J\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad 3m-n=2(3n-m)\\\\<br \/>\n\\qquad\\qquad 3m-n=6n-2m\\\\<br \/>\n\\qquad\\qquad 3m+2m=6n+n\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad  5m=7n \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n<p>Observe ainda que o teste tinha  [tex] 60[\/tex] quest\u00f5es e tanto a Mari como o Jos\u00e9 responderam todas as [tex]60[\/tex] quest\u00f5es; assim, podemos garantir que [tex]m+n=60[\/tex], donde [tex]m=60-n.[\/tex]<br \/>\nSubstituindo essa \u00faltima igualdade em [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 5(60-n)=7n\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad 300-5n=7n\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad 300=7n+5n\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad 300=12n\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad n=\\dfrac{300}{12}=25.[\/tex]<br \/>\nMas [tex]m+n=60[\/tex]; logo,<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad m=60-25=35.[\/tex]<br \/>\nFinalmente, podemos calcular as pontua\u00e7\u00f5es da Mari e do Jos\u00e9:<\/p>\n<p class=\"so\">\n<span class=\"c3\">&#9658;<\/span> Mari<br \/>\n[tex]\\qquad M=3m-n=3 \\times 35-25= \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$80$} \\, [\/tex];<br \/>\n<span class=\"c3\">&#9658;<\/span> Jos\u00e9<br \/>\n[tex]\\qquad J=3n-m=3 \\times 25-35= \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$40$} \\, [\/tex].\n<\/p>\n<p>A pontua\u00e7\u00e3o de Jos\u00e9 tamb\u00e9m poderia ser obtida lembrando que ela foi a metade da pontua\u00e7\u00e3o da Mari: [tex]\\dfrac{80}{2}=\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$40$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Um-teste_.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Um teste.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir do 8\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) O professor Renato aplicou um teste com [tex] 60[\/tex] quest\u00f5es e atribuiu [tex](3)[\/tex] pontos para cada resposta correta e [tex] (-1) [\/tex] para cada resposta errada. 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