{"id":12693,"date":"2014-01-31T15:15:36","date_gmt":"2014-01-31T17:15:36","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=12693"},"modified":"2023-01-21T21:50:45","modified_gmt":"2023-01-22T00:50:45","slug":"problema-possiveis-diferencas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-possiveis-diferencas\/","title":{"rendered":".Problema: Poss\u00edveis diferen\u00e7as"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/strong><\/p>\n

\n

\u00c9 poss\u00edvel que as seis diferen\u00e7as entre dois elementos de um conjunto de quatro n\u00fameros inteiros sejam iguais a [tex]\\, 2,\\, 2,\\, 3,\\, 4, \\, 4,\\, 6[\/tex]?
\nJustifique.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/strong><\/p>\n

\n

N\u00e3o. Vejamos o porqu\u00ea!<\/strong>
\nSe [tex]a,\\, b,\\, x\\, , \\, y[\/tex] fossem n\u00fameros inteiros cujas diferen\u00e7as s\u00e3o [tex]\\, 2,\\, 2,\\, 3,\\, 4, \\, 4,\\, 6[\/tex], ent\u00e3o duas dessas diferen\u00e7as, digamos [tex]\\,a-b\\,[\/tex] e [tex]\\,x-y\\,[\/tex], seriam [tex]3[\/tex] e [tex]4[\/tex].
\nMas se [tex]\\,a-b=4\\,[\/tex] e [tex]\\,x-y=3\\,[\/tex], ent\u00e3o [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] teriam a mesma paridade, enquanto que [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] teriam paridades contr\u00e1rias*<\/strong><\/sup><\/span>.
\nDessa forma, [tex] \\, a-x\\, [\/tex] e [tex]\\, a-y\\, [\/tex] (assim como [tex]\\, b-x\\, [\/tex] e [tex]\\, b-y\\, [\/tex]) teriam paridades contr\u00e1rias*<\/strong><\/sup><\/span>, o que \u00e9 imposs\u00edvel, j\u00e1 que as demais diferen\u00e7as, [tex]2,\\, 2,\\, 4\\,[\/tex] e [tex]\\, 6 [\/tex], t\u00eam todas a mesma paridade.
\nDeste modo, \u00e9 imposs\u00edvel que a configura\u00e7\u00e3o 2, 2, 3, 4, 4, 6 exista.<\/strong><\/p>\n

( * )<\/strong><\/span> Voc\u00ea saberia explicar por qu\u00ea? N\u00e3o? Ent\u00e3o leia <\/span>este texto<\/span><\/strong><\/a>.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/strong><\/p>\n

\n

Suponhamos que existam quatro n\u00fameros inteiros cujas diferen\u00e7as sejam [tex]\\, 2,\\, 2,\\, 3,\\, 4, \\, 4,\\, 6[\/tex].
\nSe os quatro n\u00fameros s\u00e3o inteiros, ent\u00e3o um dentre estes quatro casos deve necessariamente ocorrer:<\/p>\n

1\u00ba) Os quatro n\u00fameros s\u00e3o todos pares ou todos \u00edmpares.<\/strong>
\nNeste caso, as diferen\u00e7as seriam todas pares*<\/strong><\/sup><\/span>. Assim, n\u00e3o poderia aparecer 3 como diferen\u00e7a.
\n 
\n2\u00ba) Tr\u00eas n\u00fameros s\u00e3o pares e um n\u00famero \u00e9 \u00edmpar.<\/strong>
\nAqui iriam aparecer tr\u00eas diferen\u00e7as \u00edmpares*<\/strong><\/sup><\/span>, o que n\u00e3o \u00e9 o caso.
\n 
\n3\u00ba) Dois n\u00fameros s\u00e3o pares, e dois \u00edmpares.<\/strong>
\nAgora deveriam aparecer quatro diferen\u00e7as \u00edmpares*<\/strong><\/sup><\/span>, o que tamb\u00e9m n\u00e3o \u00e9 o caso.
\n 
\n4\u00ba) Tr\u00eas n\u00fameros s\u00e3o \u00edmpares e um par.<\/strong>
\n Mais uma vez iriam aparecer tr\u00eas diferen\u00e7as \u00edmpares*<\/strong><\/sup><\/span>, o que n\u00e3o ocorre. <\/p>\n

Esgotadas as possibilidades de paridade para os quatro n\u00fameros inteiros em quest\u00e3o, conclu\u00edmos que \u00e9 imposs\u00edvel que a configura\u00e7\u00e3o 2, 2, 3, 4, 4, 6 exista<\/strong>.<\/strong><\/p>\n

( * )<\/strong><\/span> Voc\u00ea saberia explicar por qu\u00ea? N\u00e3o? Ent\u00e3o leia <\/span>este texto<\/span><\/strong><\/a>.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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\n

Solu\u00e7\u00e3o 3<\/strong><\/p>\n

Suponhamos que existam quatro n\u00fameros inteiros [tex]a\\, \\lt \\, b\\, \\lt \\, c\\, \\lt \\, d\\, [\/tex] cujas diferen\u00e7as sejam [tex]\\, 2,\\, 2,\\, 3,\\, 4, \\, 4,\\, 6[\/tex].
\nAssim, podemos afirmar que:<\/p>\n