{"id":126722,"date":"2019-05-12T02:55:23","date_gmt":"2019-05-12T05:55:23","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=126722"},"modified":"2024-06-10T21:59:29","modified_gmt":"2024-06-11T00:59:29","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-lembrancas-natalinas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-lembrancas-natalinas\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Lembran\u00e7as natalinas"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220222\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#0000FF\"> (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Uma escola encomendou para um artes\u00e3o lembran\u00e7as natalinas na forma de um l\u00e1pis, para distribuir aos seus professores. Esses l\u00e1pis foram confeccionados a partir de cones e cilindros circulares retos, como mostra a figura abaixo.<br \/>\nQual a \u00e1rea lateral, a \u00e1rea total e o volume de cada um desses l\u00e1pis?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/prob297.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"199\" height=\"396\" class=\"aligncenter size-full wp-image-124685\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/prob297.png 199w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/prob297-151x300.png 151w\" sizes=\"auto, (max-width: 199px) 100vw, 199px\" \/><\/p>\n<p style=\" text-align:right; font-size:12px;margin-top:20px;\">(Problema adaptado do livro <strong>Matem\u00e1tica, volume \u00fanico<\/strong>&#8211; Gelson Iezzi &#038; outros)<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"99\" height=\"120\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/setor.png\" style=\"border:none;\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"160\" height=\"160\" class=\"alignright size-full wp-image-80192\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/setor.png 205w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2017\/07\/setor-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 160px) 100vw, 160px\" \/><\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:28px; margin-bottom: 10px;\"> Lembretes<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> \u00c1rea de um setor circular de raio [tex]R[\/tex] e comprimento de arco [tex]l[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad\\boxed{A_{setor}=\\dfrac{l\\times R}{2}}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob297_2.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"100\" height=\"150\" class=\"alignleft size-full wp-image-126671\" \/><\/p>\n<p style=\"font-size:11px; text-align:right;\">\n(Para aprender um pouco mais sobre <strong>setor circular<\/strong>, clique <strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=80212\" target=\"_blank\" title=\"Sala de leitura sobre setor e segmento circular.\" >AQUI<\/a><\/strong>.)<\/p>\n<p style=\"padding-left:120px;\">\n<span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> Volume de um cilindro circular reto cujo comprimento da altura \u00e9 [tex]h[\/tex] e  o comprimento do raio da base \u00e9 [tex]r[\/tex]:<br \/>\n [tex]\\qquad \\qquad \\boxed{Volume=\\pi \\, r^2 h} \\,  \\, .[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/cone.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"108\" height=\"102\" class=\"alignright size-full wp-image-113368\" \/><\/p>\n<p><span class=\"c3\" style=\"font-size: 25px;\"> &#10000; <\/span> Volume de um  cone circular reto cujo comprimento da altura \u00e9 [tex]h[\/tex] e  o comprimento do raio da base \u00e9 [tex]r[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{Volume= \\dfrac{\\pi r^2h}{3}}. [\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob297_1.png\" style=\"border:none;\" alt=\"\" width=\"368\" height=\"460\" class=\"alignright size-full wp-image-126618\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob297_1.png 368w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob297_1-240x300.png 240w\" sizes=\"auto, (max-width: 368px) 100vw, 368px\" \/><\/p>\n<p style=\"margin-right:400px\"><strong>(a)<\/strong> A figura ao lado mostra que a superf\u00edcie lateral do l\u00e1pis \u00e9 a superf\u00edcie lateral de um cilindro circular reto e a superf\u00edcie lateral de um cone circular reto:<\/p>\n<ul>\n<li>a superf\u00edcie lateral do cilindro \u00e9 um ret\u00e2ngulo de dimens\u00f5es [tex]20\\,\\pi[\/tex] (comprimento da circunfer\u00eancia da base)  e [tex]30[\/tex];<\/li>\n<li>a superf\u00edcie lateral do cone \u00e9 um setor circular de raio [tex]20[\/tex] (geratriz do cone)  e cujo comprimento de arco \u00e9 [tex]20 \\, \\pi[\/tex] (comprimento da circunfer\u00eancia da base).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, a \u00e1rea lateral [tex]A_{lat}[\/tex] \u00e9 a soma das \u00e1reas [tex]A_1[\/tex] e [tex]A_2[\/tex] indicadas na figura.<br \/>\nVamos calcul\u00e1-las.<\/p>\n<ul>\n<li>\u00c1rea do ret\u00e2ngulo:<\/li>\n<p>[tex]\\qquad A_2=20\\,\\pi\\times 30=600\\,\\pi\\,\\text{cm}^2 \\, .[\/tex]<\/p>\n<li>\u00c1rea do setor circular:<\/li>\n<p>Utilizando a primeira f\u00f3rmula do <strong>Lembrete<\/strong>, temos que:<br \/>\n[tex]\\qquad A_{1}=\\dfrac{20\\,\\pi\\times 20}{2}=200\\,\\pi\\,\\text{cm}^2 \\, .[\/tex]\n<\/ul>\n<p>Assim,<br \/>\n[tex]\\qquad A_{lat}=A_1+A_2=200\\,\\pi+600\\,\\pi=800\\,\\pi \\, [\/tex],<br \/>\nou seja, a \u00e1rea lateral do l\u00e1pis \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$800\\,\\pi\\,\\text{cm}^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>(b)<\/strong> A figura lateral acima nos indica que a \u00e1rea total do l\u00e1pis, [tex]A_t[\/tex], \u00e9 a soma [tex]A_1+A_2+A_3[\/tex], sendo [tex]A_3[\/tex] a \u00e1rea de um c\u00edrculo de raio [tex]10\\,\\text{cm}[\/tex].<br \/>\nJ\u00e1 temos os valores [tex]A_1[\/tex] e [tex]A_2[\/tex]; vamos calcular [tex]A_3[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad A_3=10^2\\times\\pi=100\\,\\pi[\/tex].<br \/>\nPortanto:<br \/>\n[tex]\\qquad A_t=A_1+A_2+A_3=200\\,\\pi+600\\,\\pi+100\\,\\pi=900\\,\\pi[\/tex]<br \/>\ne, com isso, a \u00e1rea total do l\u00e1pis \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$900\\,\\pi\\,\\text{cm}^2$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><strong>(c)<\/strong> O volume [tex]V[\/tex] do l\u00e1pis \u00e9 a soma do volume [tex]V_{cone}[\/tex] de um cone circular reto e do volume [tex]V_{cil}[\/tex] de um cilindro circular reto. <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob297_5.png\" style=\"border:none;\"  alt=\"\" width=\"380\" height=\"291\" class=\"aligncenter size-full wp-image-126697\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob297_5.png 380w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/prob297_5-300x230.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 380px) 100vw, 380px\" \/><\/p>\n<p>Fa\u00e7amos os c\u00e1lculos:<\/p>\n<ul>\n<li>Volume de um cone circular reto com raio da base [tex]10\\,\\text{cm}[\/tex] e altura [tex]h[\/tex], sendo [tex]h[\/tex] o segundo cateto de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo de hipotenusa com comprimento [tex]20\\,\\text{cm}[\/tex] e um cateto com comprimento [tex]10\\,\\text{cm}[\/tex] (terceira f\u00f3rmula do <strong>Lembrete<\/strong>):<\/li>\n<p>[tex]\\qquad V_{cone}=\\dfrac{\\pi \\cdot 10^2 \\cdot h}{3} \\, .[\/tex]<br \/>\nAqui precisaremos do valor de [tex]h[\/tex]. Para isso, utilizaremos o Teorema de Pit\u00e1goras:<br \/>\n[tex]\\qquad h^2+10^2=20^2\\\\<br \/>\n\\qquad h^2=400-100\\\\<br \/>\n\\qquad h^2=300\\\\<br \/>\n\\qquad h=10\\sqrt{3}.\\\\[\/tex]<br \/>\nFinalizando o c\u00e1lculo do volume, obtemos:<br \/>\n[tex]\\qquad V_{cone}=\\dfrac{\\pi \\cdot 10^2 \\cdot 10\\sqrt{3}}{3}=\\dfrac{1000\\sqrt{3} \\, \\pi }{3} \\, \\text{cm}^3 \\, .[\/tex]<\/p>\n<li>Volume de um cilindro circular reto com raio da base [tex]10\\,\\text{cm}[\/tex] e altura [tex]30\\,\\text{cm}[\/tex] (segunda f\u00f3rmula do <strong>Lembrete<\/strong>):<\/li>\n<p>[tex]\\qquad V_{cil}=\\pi\\cdot 10^2 \\cdot 30=3000 \\, \\pi \\, \\text{cm}^3 \\, .[\/tex]\n<\/ul>\n<p>Portanto, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad V=V_{cone}+V_{cil}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad V=\\dfrac{1000\\sqrt{3} \\, \\pi }{3}+3000 \\, \\pi\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad V=\\dfrac{1000\\sqrt{3} \\, \\pi +9000 \\, \\pi}{3}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad V=\\dfrac{1000\\pi}{3}\\cdot\\left(\\sqrt{3}+9\\right).\\\\<br \/>\n[\/tex]<br \/>\nTemos, ent\u00e3o, que o volume do l\u00e1pis \u00e9 [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{1000\\pi}{3}\\cdot\\left(\\sqrt{3}+9\\right)\\,\\text{cm}^3$} \\, [\/tex], ou aproximadamente, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$11 \\, 232,88 \\, \\text{cm}^3$} \\, [\/tex], ou ainda,[tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$11,2 \\, dm^3$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/conv.png\"  style=\"border:none;\"  alt=\"\" width=\"290\" height=\"139\" class=\"aligncenter size-full wp-image-127729\" \/><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 20px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/12\/Lembran\u00e7as-natalinas.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Lembran\u00e7as natalinas.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. Problema (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Uma escola encomendou para um artes\u00e3o lembran\u00e7as natalinas na forma de um l\u00e1pis, para distribuir aos seus professores. Esses l\u00e1pis foram confeccionados a partir de cones e cilindros circulares retos, como mostra a &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-lembrancas-natalinas\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-126722","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/126722","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=126722"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/126722\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220226,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/126722\/revisions\/220226"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=126722"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}