{"id":126186,"date":"2019-04-22T02:17:33","date_gmt":"2019-04-22T05:17:33","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=126186"},"modified":"2023-05-23T05:39:05","modified_gmt":"2023-05-23T08:39:05","slug":"desafio-um-triangulo-suas-alturas-e-as-raizes-de-uma-equacao-cubica","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/desafio-um-triangulo-suas-alturas-e-as-raizes-de-uma-equacao-cubica\/","title":{"rendered":".Desafio: Um tri\u00e2ngulo, suas alturas e as ra\u00edzes de uma equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica"},"content":{"rendered":"

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\n

Problema
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n

(Olimp\u00edadas BULG\u00c1RIA) Os comprimentos das alturas de um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] s\u00e3o as tr\u00eas solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica [tex]\\boxed{x^3+kx^2+ lx-m=0}[\/tex].
\nDetermine o raio do c\u00edrculo inscrito no tri\u00e2ngulo [tex] ABC[\/tex].<\/strong><\/p>\n

\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/span> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex] Y[\/tex], por [tex]\\overline {XY} [\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n

Sem perda de generalidade, podemos supor que o tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] seja acut\u00e2ngulo, conforme mostrado na figura a seguir.
\nNa figura, estamos supondo que os segmentos [tex]\\overline{AE}[\/tex], [tex]\\overline{BD}[\/tex] e [tex]\\overline{CF}[\/tex] s\u00e3o as alturas do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] relativas, respectivamente, aos lados [tex]\\overline{BC}[\/tex], [tex]\\overline{AC}[\/tex] e [tex]\\overline{AB}\\, .[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Se considerarmos que [tex]x_1[\/tex], [tex]x_2[\/tex] e [tex]x_3[\/tex] s\u00e3o as ra\u00edzes da equa\u00e7\u00e3o c\u00fabica [tex]\\boxed{x^3+kx^2+ lx-m=0}[\/tex], utilizando as rela\u00e7\u00f5es de Girard, obtemos que:
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] [tex]x_1+x_2+x_3=-k [\/tex];
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] [tex] x_1\\cdot x_2+ x_1\\cdot x_3+ x_2\\cdot x_3=l [\/tex];
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(iiii)}[\/tex] [tex] x_1\\cdot x_2\\cdot x_3=m[\/tex].<\/p>\n

\n

[tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex] Sem perda de generalidade, podemos considerar, em acordo com as informa\u00e7\u00f5es do problema, que:
\n[tex]\\qquad AE= x_1[\/tex];
\n[tex]\\qquad BD = x_2[\/tex];
\n[tex]\\qquad CF = x_3[\/tex] .<\/p>\n

\n

Considerando a \u00e1rea [tex]S[\/tex] do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], observe que podemos calcul\u00e1-la das seguintes maneiras:
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex] [tex] S = p\\cdot r[\/tex] , onde:
\n[tex]\\qquad \\qquad r[\/tex] \u00e9 o raio do c\u00edrculo inscrito no tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex],
\n[tex]\\qquad \\qquad p[\/tex] \u00e9 o semiper\u00edmetro do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], ou seja, [tex]2p=AC+ BC+ AB\\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\textcolor{#800000}{(vi)}[\/tex] [tex]S = \\dfrac {(base) \\cdot (altura)} {2}[\/tex], podendo aqui considerar tr\u00eas situa\u00e7\u00f5es poss\u00edveis, conforme a afirma\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(iv)}[\/tex]:<\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] [tex]S= \\dfrac {x_1\\cdot BC} {2}[\/tex], donde [tex] BC= \\dfrac {2S} {x_1}[\/tex]; <\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] [tex]S= \\dfrac {x_2\\cdot AC} {2}[\/tex], donde [tex] AC= \\dfrac {2S} {x_2}[\/tex]; <\/p>\n

\n

[tex]\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(3)}[\/tex] [tex]S= \\dfrac {x_3\\cdot AB} {2}[\/tex], donde [tex] AB= \\dfrac {2S} {x_3}[\/tex]. <\/p>\n

\n

Somando as equa\u00e7\u00f5es [tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(3)}[\/tex] de [tex]\\textcolor{#800000}{(vi)}[\/tex], obtemos:
\n[tex]\\, \\\\
\n\\qquad \\underbrace{BC + AC + AB}_{per\u00edmetro=2p} = \\dfrac {2S} {x_1}\\ + \\dfrac {2S} {x_2}\\ + \\dfrac {2S} {x_3}\\\\
\n\\qquad \\cancel{2}p\\ = {\\cancel{2}S}\\cdot \\left(\\dfrac {1} {x_1}\\ + \\dfrac {1} {x_2}\\ + \\dfrac {1} {x_3}\\right)\\\\
\n\\qquad p\\ = {S}\\cdot \\left(\\dfrac {x_2\\cdot x_3+ x_1\\cdot x_3+ x_1\\cdot x_2} {x_1\\cdot x_2\\cdot x_3}\\right).[\/tex]<\/p>\n

Por [tex]\\textcolor{#800000}{(v)}[\/tex], conclu\u00edmos que [tex] \\dfrac {S} {r} = p [\/tex] e, substituindo essa express\u00e3o na equa\u00e7\u00e3o anterior, segue que:
\n[tex]\\qquad \\dfrac {\\cancel{S}} {r} = {\\cancel{S}}\\cdot \\left(\\dfrac {x_2\\cdot x_3+ x_1\\cdot x_3+ x_1\\cdot x_2} {x_1\\cdot x_2\\cdot x_3}\\right)\\\\
\n\\qquad \\dfrac {1} {r} = \\dfrac {x_2\\cdot x_3+ x_1\\cdot x_3+ x_1\\cdot x_2} {x_1\\cdot x_2\\cdot x_3}\\\\
\n\\qquad \\dfrac {1} {r} = \\dfrac {x_1\\cdot x_2+ x_1\\cdot x_3+ x_2\\cdot x_3} {x_1\\cdot x_2\\cdot x_3}\\\\
\n\\, [\/tex]
\nSubstituindo [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] na equa\u00e7\u00e3o acima:
\n[tex]\\qquad \\dfrac {1} {r} = \\dfrac {l} {m}\\\\
\n\\qquad r\\ = \\dfrac {m} {l}.\\\\
\n\\, [\/tex]<\/p>\n