{"id":125635,"date":"2019-04-02T19:18:09","date_gmt":"2019-04-02T22:18:09","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=125635"},"modified":"2024-06-10T04:57:56","modified_gmt":"2024-06-10T07:57:56","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-uma-sequencia-numerica","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-uma-sequencia-numerica\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Uma sequ\u00eancia num\u00e9rica"},"content":{"rendered":"

✏ Link do problema para dispositivos da Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n

\n

Problema
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n(ONEM <\/strong>– 2008) Foram escritos em uma folha de papel, em ordem crescente, os primeiros tr\u00eas mil n\u00fameros inteiros positivos que s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]2[\/tex] ou de [tex]3[\/tex], mas n\u00e3o m\u00faltiplos de ambos.
\nNessa sequ\u00eancia, que n\u00famero ocupa a posi\u00e7\u00e3o [tex]2018[\/tex]?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Ajuda <\/p>\n

Algoritmo de Euclides ou Algoritmo da Divis\u00e3o<\/strong><\/p>\n

Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]b\\ne 0.[\/tex] <\/p>\n

\n\n\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\na \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, b \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\nr
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, q
\n\\end{array}\\qquad \\qquad[\/tex]<\/td>\n		\nAo dividirmos [tex]a[\/tex] por [tex]b[\/tex] encontraremos um quociente [tex]q [\/tex] e um resto [tex]r [\/tex], naturais e \u00fanicos, tais que:
\n [tex] \\, \\, \\, \\\\(1) \\, \\, \\, \\, \\, \\, 0 \\le r \\lt b \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, (2) \\, \\, a=q \\, b+r.[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nVamos fazer algumas considera\u00e7\u00f5es, antes de resolvermos o problema propriamente dito.
\nSem muito formalismo, ao dividirmos um n\u00famero natural [tex]n [\/tex] por seis podemos encontrar resto [tex]0, \\, 1, \\, 2, \\, 3, \\, 4 [\/tex] ou [tex]5[\/tex].<\/p>\n
    \n
  • Se [tex]n [\/tex] deixa resto [tex]0[\/tex], ent\u00e3o [tex]n [\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex] e de [tex]3[\/tex] simultaneamente.<\/li>\n
  • Se [tex]n [\/tex] deixa resto [tex]1[\/tex], ent\u00e3o [tex]n [\/tex] n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex] e nem [tex]3[\/tex].<\/li>\n
  • Se [tex]n [\/tex] deixa resto [tex]2[\/tex], ent\u00e3o [tex]n [\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex], mas n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex].<\/li>\n
  • Se [tex]n [\/tex] deixa resto [tex]3[\/tex], ent\u00e3o [tex]n [\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex], mas n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex].<\/li>\n
  • Se [tex]n [\/tex] deixa resto [tex]4[\/tex], ent\u00e3o [tex]n [\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex], mas n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]3[\/tex].<\/li>\n
  • Se [tex]n [\/tex] deixa resto [tex]5[\/tex], ent\u00e3o [tex]n [\/tex] n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]2[\/tex] e nem [tex]3[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

    \"\"<\/p>\n

    \n
    \n
    \n

    Se voc\u00ea j\u00e1 consegue entender um pouco o formalismo da Matem\u00e1tica, veja que podemos escrever as informa\u00e7\u00f5es acima da seguinte maneira:
    \nUm n\u00famero natural [tex]n [\/tex] ao ser dividido por seis deixa resto [tex]0, \\, 1, \\, 2, \\, 3, \\, 4 [\/tex] ou [tex]5[\/tex]. Assim, [tex]n [\/tex] pode assumir uma dessas formas:
    \n[tex]\\qquad \\boxed{6k} \\quad \\boxed{6k+1} \\quad \\boxed{6k+2} \\quad \\boxed{6k+3} \\quad \\boxed{6k+4} \\quad \\boxed{6k+5}[\/tex], com [tex]k \\in \\mathbb{N}.[\/tex]<\/p>\n