Problema Uma escola tem mil alunos e cada um deles possui um arm\u00e1rio. Os arm\u00e1rios est\u00e3o enfileirados num corredor e numerados de [tex] 1[\/tex] a [tex] 1000[\/tex] . Indicando cada aluno pelo n\u00famero de seu arm\u00e1rio, o professor de Matem\u00e1tica da escola prop\u00f4s a seguinte atividade: \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Uma pequena simula\u00e7\u00e3o para ajudar <\/p>\n \n Para ajudar no entendimento do enunciado e da solu\u00e7\u00e3o, apresentamos uma simula\u00e7\u00e3o do problema para dez alunos e, consequentemente, dez arm\u00e1rios. Observe na \u00faltima linha da tabela a situa\u00e7\u00e3o final de todas as portas ap\u00f3s a passagem dos dez alunos. Note, tamb\u00e9m, que [tex]1[\/tex], [tex]4[\/tex] e [tex]9[\/tex] s\u00e3o os quadrados perfeitos menores do que [tex]10[\/tex] ([tex]1^2[\/tex], [tex]2^2[\/tex], [tex]3^2[\/tex]).\n<\/p><\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.) Uma escola tem mil alunos e cada um deles possui um arm\u00e1rio. Os arm\u00e1rios est\u00e3o enfileirados num corredor e numerados de [tex] 1[\/tex] a [tex] 1000[\/tex] . Indicando cada aluno pelo n\u00famero de seu arm\u00e1rio, o professor de Matem\u00e1tica da escola prop\u00f4s a seguinte atividade: … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\n(1) Os arm\u00e1rios est\u00e3o inicialmente todos fechados, mas destrancados.
\n(2) Ordenadamente, cada aluno [tex]n[\/tex] passar\u00e1 pelos arm\u00e1rios mudando a situa\u00e7\u00e3o (abrindo o que est\u00e1 fechado, ou fechando o que est\u00e1 aberto) daqueles arm\u00e1rios cujo n\u00famero \u00e9 divis\u00edvel por [tex]n[\/tex].
\nQuantos arm\u00e1rios estar\u00e3o abertos ap\u00f3s o t\u00e9rmino da atividade?<\/strong><\/p>\n
\nPerceba que quando o aluno [tex]n[\/tex] passar pelos arm\u00e1rios ele s\u00f3 alterar\u00e1 a disposi\u00e7\u00e3o dos arm\u00e1rios cuja numera\u00e7\u00e3o \u00e9 divis\u00edvel por [tex]n[\/tex]. Deste modo, ap\u00f3s todos os alunos passarem pelos arm\u00e1rios, ficar\u00e3o abertos apenas os arm\u00e1rios cuja numera\u00e7\u00e3o possuir um n\u00famero \u00edmpar de divisores.
\nEstes n\u00fameros, ent\u00e3o, quando fatorados ter\u00e3o apenas pot\u00eancias de primos com expoente par (Veja o texto sobre divisores de um n\u00famero natural que publicamos aqui<\/strong><\/a>.), sendo portanto os quadrados perfeitos menores do que [tex] 1000. [\/tex]
\nComo [tex] 31^2 \\lt 1000\\,[\/tex] e [tex]\\,32^2 \\gt 1000[\/tex] , ficar\u00e3o abertos [tex] 31[\/tex] arm\u00e1rios<\/strong>.<\/p>\n
\n
\n
\nNa tabela abaixo, sinalizamos apenas as mudan\u00e7as ocorridas durante as passagens de cada aluno pelos arm\u00e1rios: <\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/f108.png\")
<\/p>\n
\nA partir dos dados a seguir, perceba que os arm\u00e1rios que ficaram abertos s\u00e3o aqueles que t\u00eam, de fato, um n\u00famero \u00edmpar de divisores.<\/p>\n\n