Problema No tri\u00e2ngulo da figura abaixo, pelo ponto [tex]X[\/tex] trace uma reta paralela ao lado [tex]\\overline{BC}[\/tex]. Considere [tex]M[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dessa reta com o lado [tex]\\overline{AC}[\/tex]. \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Nota\u00e7\u00e3o<\/strong>: Denotaremos um segmento definido por dois pontos, por exemplo pontos [tex]Y[\/tex] e [tex]Z[\/tex], por [tex]\\overline {YZ}[\/tex], e sua medida por [tex]YZ[\/tex]. <\/p>\n Vamos tra\u00e7ar duas retas paralelas ao lado [tex]\\overline{BC}[\/tex]: uma passando pelo ponto [tex]A[\/tex] e outra passando pelo ponto [tex]X.[\/tex] Observe que:<\/p>\n assim, podemos aplicar o Teorema de Tales, que nos garante que:<\/p>\n Dessa forma,<\/p>\n [tex] \\begin{equation} Notemos que o tri\u00e2ngulo [tex]BXC[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo, ent\u00e3o<\/p>\n [tex]\\begin{equation}tg \\;30^{\\circ}=\\dfrac{CX}{BX}\\\\ O tri\u00e2ngulo [tex]AXC[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 ret\u00e2ngulo, logo<\/p>\n [tex]\\begin{equation}tg \\;45^{\\circ}=\\dfrac{CX}{AX}\\\\ Vemos que <\/p>\n [tex]\\begin{equation} Substituindo [tex](ii), \\;(iii)[\/tex] e [tex](iv)[\/tex] em [tex](i)[\/tex], segue que: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) No tri\u00e2ngulo da figura abaixo, pelo ponto [tex]X[\/tex] trace uma reta paralela ao lado [tex]\\overline{BC}[\/tex]. Considere [tex]M[\/tex] o ponto de interse\u00e7\u00e3o dessa reta com o lado [tex]\\overline{AC}[\/tex]. Calcule a raz\u00e3o entre as medidas dos segmentos [tex]\\overline{CM}[\/tex] e [tex]\\overline{CA}[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Nota\u00e7\u00e3o: Denotaremos um segmento definido por … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nCalcule a raz\u00e3o entre as medidas dos segmentos [tex]\\overline{CM}[\/tex] e [tex]\\overline{CA}[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/Tri\u00e2ngulo.jpg\")
<\/p>\n<\/div>\n
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\n
\nNa reta paralela que passa pelo ponto [tex]X[\/tex], obtemos o ponto [tex]M[\/tex], interse\u00e7\u00e3o entre a reta e o lado [tex]\\overline{AC}[\/tex]. Veja a figura a seguir. <\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/Tri\u00e2ngulo-11.jpg\")
<\/p>\n\n
\n
\n\\dfrac{CM}{CA}=\\dfrac{BX}{BA} \\, \\, .\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; (i)
\n\\end{equation}[\/tex]<\/p>\n
\n\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}=\\dfrac{CX}{BX}
\n\\\\BX=\\dfrac{3}{\\sqrt{3}}CX.\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; (ii)
\n\\end{equation}[\/tex]<\/p>\n
\n 1=\\dfrac{CX}{AX}\\\\
\nAX=CX. \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; (iii)
\n\\end{equation}[\/tex]<\/p>\n
\nBA=BX+AX.\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\; (iv)
\n\\end{equation}[\/tex]<\/p>\n
\n[tex] \\qquad \\dfrac{CM}{CA}=\\dfrac{BX}{BX+AX}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{CM}{CA}=\\dfrac{\\dfrac{3}{\\sqrt{3}}CX}{\\dfrac{3}{\\sqrt{3}}CX+CX}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{CM}{CA}=\\dfrac{\\dfrac{3}{\\sqrt{3}}CX}{\\dfrac{3+\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}CX}\\\\
\n\\qquad \\dfrac{CM}{CA}=\\dfrac{3}{3+\\sqrt{3}}.[\/tex]
\nRacionalizando o denominador da \u00faltima igualdade, obtemos
\n[tex] \\qquad \\dfrac{CM}{CA}=\\dfrac{3(3-\\sqrt{3})}{(3+\\sqrt{3})(3-\\sqrt{3})}\\\\
\n \\qquad \\dfrac{CM}{CA}=\\dfrac{3(3-\\sqrt{3})}{9-3}\\\\[\/tex]
\ne, assim, [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \\, \\dfrac{CM}{CA}=\\dfrac{3-\\sqrt{3}}{2}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
\n