Problema Escrevem-se n\u00fameros de cinco d\u00edgitos (inclusive os come\u00e7ados por zero) em cart\u00f5es. Com a fonte utilizada, os d\u00edgitos [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex] e [tex]8[\/tex] n\u00e3o se alteram de cabe\u00e7a para baixo, enquanto o d\u00edgito [tex]6[\/tex] de cabe\u00e7a para baixo se transforma em [tex]9[\/tex]. Assim, um s\u00f3 cart\u00e3o pode representar dois n\u00fameros (por exemplo, [tex]06198[\/tex] e [tex]86190[\/tex]). Qual \u00e9 a quantidade m\u00ednima de cart\u00f5es para representar todos os n\u00fameros de cinco d\u00edgitos?<\/p>\n (Extra\u00eddo do livro An\u00e1lise Combinat\u00f3ria e Probabilidade<\/strong>: Augusto C\u00e9sar Morgado e outros.)<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Inicialmente, observe que, utilizando os algarismos de [tex]0[\/tex] a [tex]9[\/tex], o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem nos garante que podem ser obtidos [tex]10 \\times 10 \\times 10 \\times 10 \\times 10 = 100000[\/tex] n\u00fameros de cinco d\u00edgitos, incluindo os come\u00e7ados por zero. No entanto, na hora de escrever tais n\u00fameros, repare que existem tr\u00eas tipos de cart\u00f5es:<\/p>\n (I) Os que quando virados de cabe\u00e7a para baixo n\u00e3o exibem n\u00fameros, como, por exemplo, [tex]12345[\/tex]; Agora, perceba que os cart\u00f5es do tipo (III) permitem economia, pois um mesmo cart\u00e3o desse tipo exibe dois n\u00fameros diferentes. Vamos obter a quantidade de cart\u00f5es desse tipo. [tex]\\qquad 0\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,0[\/tex]; [tex]\\qquad \\underline{\\,}\\,0\\,\\underline{\\,}\\,0\\underline{\\,}[\/tex]; Portanto, a quantidade de cart\u00f5es do tipo (III) \u00e9 [tex]3125-75=3050[\/tex] e, dessa forma, podem ser economizados [tex]\\dfrac{3050}{2}=1525[\/tex] cart\u00f5es. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Escrevem-se n\u00fameros de cinco d\u00edgitos (inclusive os come\u00e7ados por zero) em cart\u00f5es. Com a fonte utilizada, os d\u00edgitos [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex] e [tex]8[\/tex] n\u00e3o se alteram de cabe\u00e7a para baixo, enquanto o d\u00edgito [tex]6[\/tex] de cabe\u00e7a para baixo se transforma em [tex]9[\/tex]. Assim, um s\u00f3 cart\u00e3o … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
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\n(II) Os que quando virados de cabe\u00e7a para baixo exibem o mesmo n\u00famero, como, por exemplo, [tex]86198[\/tex];
\n(III) Os que quando virados de cabe\u00e7a para baixo exibem n\u00fameros diferentes, como, por exemplo, [tex]06198[\/tex].<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/cart\u00f5es.png\")
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\nNovamente, pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, h\u00e1 [tex]5 \\times 5 \\times 5 \\times 5 \\times 5 = 3125[\/tex] cart\u00f5es que virados de cabe\u00e7a para baixo exibem n\u00fameros, iguais ou diferentes, pois tais cart\u00f5es possuem apenas os algarismos [tex]0[\/tex], [tex]1[\/tex], [tex]8[\/tex], [tex]6[\/tex] ou [tex]9[\/tex].
\nDestes, [tex]5 \\times 5 \\times 3 = 75[\/tex] s\u00e3o do segundo tipo, pois um desses cart\u00f5es deve ter:<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad 1\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,1[\/tex];
\n[tex]\\qquad 8\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,8[\/tex];
\n[tex]\\qquad 6\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,9[\/tex] ou
\n[tex]\\qquad 9\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,\\underline{\\,}\\,6[\/tex], <\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\underline{\\,}\\,1\\,\\underline{\\,}\\,1\\,\\underline{\\,}\\,[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\underline{\\,}\\,8\\,\\underline{\\,}\\,8\\,\\underline{\\,}\\,[\/tex];
\n[tex]\\qquad \\underline{\\,}\\,6\\,\\underline{\\,}\\,9\\,\\underline{\\,}\\,[\/tex] ou
\n[tex]\\qquad \\underline{\\,}\\,9\\,\\underline{\\,}\\,6\\,\\underline{\\,}\\,[\/tex] <\/p>\n
\nPelo exposto, conclu\u00edmos que o n\u00famero m\u00ednimo de cart\u00f5es necess\u00e1rio para representar todos os n\u00fameros de cinco d\u00edgitos \u00e9 [tex]100000-1525= \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$98475$} \\, .[\/tex]<\/p>\n
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