{"id":124558,"date":"2019-03-18T21:41:53","date_gmt":"2019-03-19T00:41:53","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=124558"},"modified":"2023-05-22T06:46:41","modified_gmt":"2023-05-22T09:46:41","slug":"problemao-um-numero-quadrado-perfeito","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-um-numero-quadrado-perfeito\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Um n\u00famero quadrado perfeito"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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Encontre todos os n\u00fameros da forma [tex]aabb[\/tex] que s\u00e3o formados por quatro algarismos e que sejam quadrados perfeitos.<\/p>\n

(Fonte: Cole\u00e7\u00e3o Olimp\u00edadas de Matem\u00e1tica: Livro \u201cInicia\u00e7\u00e3o \u00e0 Matem\u00e1tica: um curso com problemas e solu\u00e7\u00f5es\u201d)<\/p>\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Supondo que o n\u00famero [tex]aabb[\/tex] seja um quadrado perfeito, ent\u00e3o existe um inteiro [tex]N[\/tex] tal que [tex] N^2=aabb[\/tex].
\n (Aqui, a nota\u00e7\u00e3o [tex]aabb[\/tex] n\u00e3o indica um produto e sim a representa\u00e7\u00e3o de um n\u00famero com quatro algarismos no sistema decimal.)<\/span>
\nAssim, pode-se concluir que:<\/p>\n

\n[tex]\\qquad N^2=10^3\\cdot a+10^2\\cdot a+10\\cdot b+b\\\\
\n\\qquad N^2=10^2\\cdot (10\\cdot a+a)+11\\cdot b\\\\
\n\\qquad N^2=10^2\\cdot 11\\cdot a+11\\cdot b\\\\
\n\\qquad N^2=11\\cdot(10^2\\cdot a+b)\\\\
\n\\qquad N^2=11\\cdot(99\\cdot a+a+b).[\/tex]<\/p>\n

Mas note que:<\/p>\n

[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Como [tex]11[\/tex] \u00e9 primo, perceba que [tex]11^2[\/tex] divide [tex]N^2[\/tex]. Dessa forma, [tex]11[\/tex] deve ser divisor de [tex](99\\cdot a+a+b)[\/tex]. Logo, nota-se que a parcela [tex] 99\\cdot a [\/tex] \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]11[\/tex], fato que permite concluir que [tex] (a+b)[\/tex] deve tamb\u00e9m ser m\u00faltiplo de [tex]11[\/tex].<\/p>\n

\n

[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Observando que [tex]aabb[\/tex] tem quatro algarismos, necessariamente [tex]a\\ne 0[\/tex]. Portanto, [tex]a\\in \\{1,2,3,…,9\\} \\, [\/tex] e [tex] \\, b\\in \\{0,1,2,…,9\\}[\/tex], ou seja, [tex]a+b\\leq18[\/tex]. Logo, por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], devemos ter [tex]\\boxed{ \\, a+b=11 \\, }.[\/tex]<\/p>\n

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[tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] \u00c9 fato conhecido que todo n\u00famero quadrado perfeito tem como algarismo das unidades [tex]0,1,4,5,6,9[\/tex]; ent\u00e3o, [tex] b\\in \\{0,1,4,5,6,9\\}[\/tex].<\/p><\/div>\n

Assim, substituindo os valores de [tex]b[\/tex] obtidos em [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] na igualdade [tex]\\boxed{ \\, a+b=11 \\, }[\/tex] obtida em [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], tem-se:<\/p>\n