{"id":124000,"date":"2019-03-10T17:47:07","date_gmt":"2019-03-10T20:47:07","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=124000"},"modified":"2024-06-10T04:50:31","modified_gmt":"2024-06-10T07:50:31","slug":"problema-para-ajudar-na-escola-vamos-preencher-uma-tabela","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-para-ajudar-na-escola-vamos-preencher-uma-tabela\/","title":{"rendered":".Problema para ajudar na escola: Vamos preencher uma tabela?"},"content":{"rendered":"<p class=\"g2\" ><strong><a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=220152\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">&#9999; <span style=\"color:#A0522D;font-size:14px;\">Link do problema para dispositivos da <em>Apple<\/em>.<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nVamos preencher uma tabela  [tex] 3 \\times 3[\/tex] com  os n\u00fameros<br \/>\n[tex]\\qquad \\boxed{1 \\, , \\, 7 \\, , \\, 9 \\, , \\, 11 \\, , \\, 12 \\, , \\, 14 \\, , \\, 16 \\, , \\, 17 \\, , \\, 19\\,\\,}[\/tex]<br \/>\nde tal forma que:<\/p>\n<ul>\n<li>nos cantos do tabuleiro escreveremos apenas n\u00fameros primos;<\/li>\n<li>no centro do tabuleiro n\u00e3o escreveremos um quadrado perfeito.<\/li>\n<\/ul>\n<p>De quantas formas podemos fazer o preenchimento?<\/p>\n<p style=\" text-align:center; margin:20px;\">[tex]\\begin {array}{|c| c| c|}<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\qquad \\textcolor{red}{?} \\qquad &#038;\\qquad \\textcolor{red}{?}  \\qquad  &#038;\\qquad  \\textcolor{red}{?}  \\qquad \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\qquad  \\textcolor{red}{?}  \\qquad &#038;\\qquad  \\textcolor{red}{?}  \\qquad &#038;\\qquad \\textcolor{red}{?}  \\qquad  \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\qquad  \\textcolor{red}{?}  \\qquad &#038;\\qquad \\textcolor{red}{?}  \\qquad  &#038;\\qquad \\textcolor{red}{?}  \\qquad \\\\<br \/>\n\\hline<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:25px; width:80%; margin-left:auto; margin-right:auto; \"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"80\" height=\"96\" class=\"alignright size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:25px;margin:10px\"> Ajuda<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<strong>Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, ou Princ\u00edpio Multiplicativo, para tr\u00eas decis\u00f5es <\/strong>:<\/p>\n<p>Se<\/p>\n<ul>\n<li>uma decis\u00e3o <strong>D1<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_1 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D2<\/strong> puder ser tomada de [tex] m_2 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li> uma decis\u00e3o <strong>D3<\/strong> puder ser tomada de [tex]m_3 [\/tex] maneiras distintas,<\/li>\n<li>e todas essas decis\u00f5es forem independentes entre si (isto \u00e9, a escolha de uma n\u00e3o muda a quantidade de possibilidades para a escolha de outra),<\/li>\n<\/ul>\n<p> ent\u00e3o o n\u00famero total de maneiras de tomarmos sucessivamente essas tr\u00eas decis\u00f5es \u00e9 igual ao produto<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{m_1\\times m_2 \\times m_3} \\, .[\/tex]<br \/>\n<span style=\"font-size: 12px;\"> (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra desse  Princ\u00edpio, seria interessante dar uma passadinha <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?p=22162\" target=\"_blank\" title=\"Sala de Estudo: Princ\u00edpio Fundamental da Contagem\"> <strong>nesta Sala de Estudo<\/strong><\/a>.)<\/span><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nObservemos inicialmente que dentre os n\u00fameros [tex] 1 \\, , \\, 7 \\, , \\, 9 \\, , \\, 11 \\, , \\, 12 \\, , \\, 14 \\, , \\, 16 \\, , \\, 17 \\, , \\, 19[\/tex]:<\/p>\n<ul>\n<li> quatro s\u00e3o primos: [tex] 7, \\, 11, \\, 17, \\, 19[\/tex];<\/li>\n<li> tr\u00eas s\u00e3o quadrados perfeitos: [tex] 1=1^2, \\, 9=3^2, \\, 16=4^2[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n<p>Vamos ent\u00e3o \u00e0 contagem do n\u00famero de modos com que podemos preencher a tabela  [tex] 3 \\times 3[\/tex] do problema.<\/p>\n<p style=\"margin: 10px 40px 10px 40px;\">[tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Vamos iniciar o preenchimento pelos cantos da tabela. Note que temos quatro n\u00fameros primos que devem ser colocados nos cantos da tabela. Assim, como s\u00e3o quatro n\u00fameros a serem colocados em quatro lugares, podemos faz\u00ea-lo de [tex]4!=24[\/tex] maneiras diferentes.<\/p>\n<p style=\"margin: 10px 40px 10px 40px;\">[tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Vamos agora preencher o centro da tabela e, no centro, devemos colocar um n\u00famero que n\u00e3o seja um quadrado perfeito. Temos cinco n\u00fameros n\u00e3o utilizados: [tex] 1 \\, , \\, 9 \\, , \\, 12 \\, , \\, 14 \\, , \\, 16 \\, [\/tex]  e, desses, tr\u00eas s\u00e3o quadrados perfeitos. Dessa forma, devemos utilizar para o centro da tabela o [tex] 12[\/tex] ou o [tex]14[\/tex], ou seja, temos [tex]2[\/tex] possibilidades.<\/p>\n<p style=\"margin: 10px 40px 10px 40px;\">[tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex] Feito o preenchimento dos cantos e do centro da tabela, restam ainda [tex]9-4-1=4[\/tex] n\u00fameros a serem utilizados em quatro posi\u00e7\u00f5es, sendo que esses n\u00fameros podem ocupar qualquer uma dessas quatro posi\u00e7\u00f5es. Ent\u00e3o podemos distribu\u00ed-los de [tex]4!=24[\/tex] maneiras.<\/p>\n<p>Por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex], [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(iii)}[\/tex], utilizando o Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, conclu\u00edmos que a tabela pode ser preenchida de [tex]24 \\times 2 \\times 24=  \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1152$}[\/tex] maneiras diferentes.<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/problema_para_ajudar_na_escola_vamos_preencher_uma_tabela_pronto.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Algarismos repetidos.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>&#9999; Link do problema para dispositivos da Apple. 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