Problema (Canadian Mathematical Olympiad<\/strong>) Um n\u00famero inteiro positivo [tex]n[\/tex] \u00e9 dito pr\u00e1tico <\/em><\/strong>se cada n\u00famero inteiro positivo menor do que ou igual a [tex]n[\/tex] pode ser escrito como a soma de divisores positivos distintos de [tex]n[\/tex]. podemos afirmar que [tex]6[\/tex] \u00e9 pr\u00e1tico.<\/p>\n \n Prove que o produto de dois n\u00fameros pr\u00e1ticos tamb\u00e9m \u00e9 pr\u00e1tico.<\/strong><\/p>\n \n<\/div>\n \n Ajuda <\/p>\n Algoritmo de Euclides ou Algoritmo da Divis\u00e3o<\/strong><\/p>\n Sejam [tex]z[\/tex] e [tex]y[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]y\\ne 0.[\/tex] <\/p>\n \n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Sejam [tex]p_1[\/tex] e [tex]p_2[\/tex] n\u00fameros pr\u00e1ticos e considere [tex]k[\/tex] um inteiro positivo tal que [tex]k\\le p_1p_2.[\/tex] [tex]k=q \\, p_2+r[\/tex] com [tex] 0\\le r\\lt p_2.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n Mas [tex]k\\le p_1p_2[\/tex]; assim, segue que [tex]0\\le q \\le p_1[\/tex] e, portanto, podemos reescrever a rela\u00e7\u00e3o [tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] como:<\/p>\n [tex]k=q \\, p_2+r[\/tex] com [tex] 0\\le r\\lt p_2 \\, [\/tex] e [tex] \\, 0\\le q \\le p_1.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/p>\n Como [tex]p_1[\/tex] e [tex]p_2[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros pr\u00e1ticos, temos que <\/p>\n [tex]q=c_1+c_2+\\cdots+c_m \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, r=d_1+d_2+\\cdots+d_n[\/tex]<\/p>\n em que os [tex]{c_i}’s[\/tex] s\u00e3o alguns dos distintos divisores de [tex]p_1[\/tex] e os [tex]{d_i}’s[\/tex] s\u00e3o alguns dos distintos divisores de [tex]p_2[\/tex]. [tex]\\begin{align}k&=(c_1+c_2+\\cdots+c_m)p_2+(d_1+d_2+\\cdots+d_n)\\\\ Observe que:<\/p>\n Assim, podemos concluir que [tex]p_1p_2[\/tex] \u00e9 um n\u00famero pr\u00e1tico.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) (Canadian Mathematical Olympiad) Um n\u00famero inteiro positivo [tex]n[\/tex] \u00e9 dito pr\u00e1tico se cada n\u00famero inteiro positivo menor do que ou igual a [tex]n[\/tex] pode ser escrito como a soma de divisores positivos distintos de [tex]n[\/tex]. Por exemplo, os divisores positivos de [tex]6[\/tex] s\u00e3o [tex]1,\\ 2,\\ … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n
\nPor exemplo, os divisores positivos de [tex]6[\/tex] s\u00e3o [tex]1,\\ 2,\\ 3[\/tex] e [tex]6[\/tex]. Como <\/p>\n\n
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<\/p>\n\n
\n \n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{array}{r}
\nz \\, \\end{array} \\begin{array}{|r}
\n \\, y \\, \\, \\, \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad\\begin{array}{r}
\nr
\n\\end{array}\\begin{array}{r}
\n \\, \\, \\, q
\n\\end{array}\\qquad \\qquad[\/tex]<\/td>\n\nAo dividirmos [tex]z[\/tex] por [tex]y[\/tex] encontraremos um quociente [tex]q [\/tex] e um resto [tex]r [\/tex], naturais e \u00fanicos, tais que:
\n [tex] \\, \\, \\, \\\\(1) \\, \\, \\, \\, \\, \\, 0 \\le r \\lt y \\, \\, \\, \\, \\, \\, \\, (2) \\, \\, z=q \\, y+r.[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
\nUtilizando o algoritmo de Euclides, podemos escrever que: <\/p>\n
\nDessa forma, podemos reescrever o n\u00famero [tex]k[\/tex] como<\/p>\n
\n&=c_1p_2+c_2p_2+\\cdots +c_mp_2\\ +d_1+\\cdots +d_n.\\end{align}\\\\
\n \\, \\, [\/tex]<\/p>\n\n
\n