\n
Problema<\/p>\n
\n
Se [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais tais que [tex]a^{2}-b^{2}=2019[\/tex], quais s\u00e3o os poss\u00edveis valores para [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex]?<\/p>\n
\n<\/div>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n
\n
Pelo caso de fatora\u00e7\u00e3o “diferen\u00e7a de dois quadrados”, temos que:
\n[tex]\\qquad a^{2}-b^{2}=2019[\/tex]
\n[tex]\\qquad (a+b) \\cdot (a-b)=2019[\/tex]
\nComo [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o naturais, [tex]a+b[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 natural e [tex]a-b[\/tex] pode ser natural ou inteiro negativo.
\nPelo fato de [tex]2019[\/tex] ser natural, a \u00faltima igualdade nos garante que [tex]a-b[\/tex] tamb\u00e9m deve ser um n\u00famero natural.
\nLogo, [tex]a+b[\/tex] e [tex]a-b[\/tex] s\u00e3o divisores naturais de [tex]2019[\/tex] e precisamos, portanto, obter todos os divisores naturais de [tex]2019[\/tex]. Para isso, utilizaremos o algoritmo que nos fornece esses divisores:
\n[tex]\\qquad \\hspace{2.5cm}\\underline{\\fcolorbox{black}{#BFFFFF}{1}} \\\\
\n\\qquad \\begin{array}{r|l}
\n2019 & 3 & \\fcolorbox{black}{#BFFFFF}{3}\\\\
\n673& 673 & \\fcolorbox{black}{#BFFFFF}{673}\\,\\, \\fcolorbox{black}{#BFFFFF}{2019}\\\\
\n1& &
\n \\\\ \\end{array}[\/tex]
\nOs divisores obtidos formam dois pares com produto [tex]2019[\/tex]: [tex] \\boxed{1\\cdot 2019 = 2019}\\,\\,[\/tex] e [tex]\\,\\, \\boxed{3 \\cdot 673 = 2019}.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n
Portanto, como [tex]a+b\\geq a-b[\/tex], temos dois casos a considerar:<\/p>\n
[tex]\\qquad \\qquad \\begin{cases} a + b = 2019 \\\\ a-b = 1 \\end{cases}[\/tex], donde [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\, a=1010 \\text{ e }\\, \\, b=1009$}\\, .[\/tex]<\/p>\n
[tex]\\qquad \\qquad\\begin{cases} a + b = 673 \\\\ a-b = 3 \\end{cases}[\/tex], donde [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\, a=338 \\text{ e }\\, \\, b=335$}\\, .[\/tex]<\/ul>\n
Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema Se [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais tais que [tex]a^{2}-b^{2}=2019[\/tex], quais s\u00e3o os poss\u00edveis valores para [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex]? Solu\u00e7\u00e3o Pelo caso de fatora\u00e7\u00e3o “diferen\u00e7a de dois quadrados”, temos que: [tex]\\qquad a^{2}-b^{2}=2019[\/tex] [tex]\\qquad (a+b) \\cdot (a-b)=2019[\/tex] Como [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] s\u00e3o naturais, [tex]a+b[\/tex] tamb\u00e9m \u00e9 natural e [tex]a-b[\/tex] pode ser natural ou inteiro negativo. … <\/p>\n